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Gerade in unbekannter Ebene

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Gerade in unbekannter Ebene « Zurück Vor »

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Fred
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 12:17:   Beitrag drucken

Hallo,

habe folgende Aufgabe bekommen:

Zeige, dass alle Geraden g(k): x= (7/-1/1) + r(2k+1/-2/-2k) der Schar in derselben Ebene E3 liegen!

Bin jetzt allerdings etwas verwirrt, denn die Ebene E3 ist ja nicht gegeben. Wie gehe ich dieses Problem an?

Ciao Fred
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 20:45:   Beitrag drucken

Hi Fred,

wir schreiben die drei skalaren Parametergleichungen der
Geraden g(k) an, wobei r die Rolle des Parameters für den
laufenden Punkt auf g(k) spielt.
x = 7 + (2k+1) * r, y = -1 – 2 * r , z = 1- 2 k * r…………(1)
Für verschiedene k-Werte erhalten wir verschieden Geraden.
Alle gehen durch den festen Punkt A(7/-1/1)
Wir wählen zwei Geraden aus und zwar diejenigen,
welche den Werten k = 1 und k = 2 entsprechen.
Diese Geraden g(1) und g(2) spannen eine Ebene E auf,
deren Gleichung wir ermitteln wollen.
Die Richtungsvektoren u ,v dieser Geraden sind:
u = { 3; -2; -2 } (setze in (1) im 2.Summand k=1 ,r = 1 ein)
v = { 5; -2; -4 } (setze in (1) im 2.Summand k=2 ,r = 1 ein)
Das Vektorprodukt n = uxv gibt einen Normalenvektor
der Ebene E
Wir rechnen und erhalten
n = {4;2;4}= 2* {2;1:2}
Ansatz für eine Koordinatengleichung für E:
2 x + y + 2 z = d
Da E durch A gehen muss, können wir d durch
Einsetzen der Koordinaten von A in die Gleichung ermitteln;
es kommt d = 15 und als Gleichung für E erscheint
2 x + y + 2 z = 15...............................................................(2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gleichung (2) ist aber schon die Gleichung der
gesuchten Ebene selbst, denn ALLE Geraden g(k) der Schar
liegen auf dieser Ebene, wie wir uns durch Einsetzen der
Koordinaten aus(1) in (2) überzeugen können.
Dies soll geschehen:
2*[7+(2*k+1)*r] +1* [- 1 –2 * r ] + 2* [1 – 2 * k * r ] = 0
Auf der linken Seite heben sich alle Terme weg.
Die Ebenengleichung ist für alle k –Werte
identisch erfüllt, w.z.b.w.

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Fred
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 21:28:   Beitrag drucken

Vielen Dank Herr Moser,

mit der Antwort konnte ich sehr viel anfangen.

Ciao Fred
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Carsten
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 23:30:   Beitrag drucken

Hallo verehrter megamath,
ausnahmsweise möchte ich mal anfragen, ob nicht eine einfachere Lösungsvariante auch zum Ziel führen könnte, bei der nicht erst zwei spezielle Punkte der Ebene ausgerechnet werden müssen.

Die Überlegung geht dahin, dass der Richtungsvektor (2k+1/-2/-2k) für jeden beliebigen Wert von k zum Normalenvektor n=(n1,n2,n3) der Ebene E3 orthogonal sein muss:

n1*(2k+1) + n2*(-2) +n3*(-2k) = 0 , umformen,
(n1-n3)*2k +n1 -2n2 = 0

Dies muss für alle Werte von k erfüllt sein, und das kann es nur, wenn der Koeffizient (n1-n3) vom k gleich Null wird:
n1-n3=0 => n1=n3
Die Gleichung (n1-n3)*2k+n1-2n2 = 0 wird dabei zu
n1-2n2 = 0 => n1=2n2

wählt man n2=1, folgt mit n1=2n2 und n1=n3 ein Normalenvektor von E3:
n=(2,1,2), also E3: 2x + y + 2z = d

Die Bedingung, dass (7/-1/1) Punkt der Ebene E3 sein muss, ergibt dann 2*7 -1 +2 = d, also
d=15

2x + y + 2z = 15
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 11:07:   Beitrag drucken

Hi Carsten,

Besten Dank für Deine Bemerkungen !
Unter Fachleuten geht man nach Deinem
Vorschlag vor, man begibt sich sofort
in medias res.
Den Umweg über das numerische Beispiel
habe ich aus didaktischen Gründen gewählt,
um den Anfänger nicht zu verwirren.
Ich weiss allerdings nicht, ob mir dies
gelungen ist.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Carsten
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 21:47:   Beitrag drucken

Hi H.R.Moser,megamath., muss doch wohl gelungen sein, wenn Fred mit der Antwort sehr viel anfangen konnte.
Zu manchen Fragen habe ich mir so meine Gedanken gemacht, und wenn ich fertig war,
stand nicht selten schon eine Antwort im Board, die kürzer oder auch eleganter war.
Welcher Absender stand darunter?
" H.R.Moser,megamath. "
natürlich.

Deshalb mal der Versuch, ob ich diesmal etwas kürzer war.
Ok
Freundliche Grüße
Carsten
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 22:11:   Beitrag drucken

Hi Carsten,

Besten Dank für die Blumen !
Meine Anerkennung für Deine schöne
kurze und bündige Lösung !
Machen wir weiter .

Gruss
H.R.M.

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