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Beitrag |
    
de Willy (Wildi2001)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 15:41: | 
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Hallo, zusammen,
wir hatten in der Klausur folg. Aufgabe:
E(X)=40
V(X)=sqrt(24)
gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(36<=X<=44). Die Wahrscheinlichkeit soll mit Tschebyscheff abgeschätzt werden.
P(|X-E(X)|>=a)=V(X)/a²
In der Aufgabe ist das Gegenereignis, also
P(|X-E(X)|<a)=1-V(X)/a²
gesucht. Die Frage ist, wie jetzt a gewählt werden muss, unter der Berücksichtigung, dass W(X)={0,1,2,...,100) ist, also ganze Zahlen.
Hier meine Meinung:
man muss a=5 setzen, denn bei a=4 sind 36 und 44 nicht mehr im Intervall, denn es heißt ja <a
Mein Lehrer meint:
man setzt a=4 und nimmt einfach <=a im Tschebyscheff an. dass ist m.M.n. aber nicht möglich, da dann P(Ereignis) + P(Gegenereignis) != 1
Was meint ihr?
Vielen Dank für eure Antworten |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 22:50: |
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich dich ganz richtig verstanden habe.
Ich würde wie du P(|X-E(X)|>=a)=V(X)/a² mit a=5 verwenden und dann 1 minus diese Wahrscheinlichkeit. (Muss übrigens <= statt = heißen.)
Wie meinst du das, dein Lehrer "nimmt Tschebyscheff mit <="? Er ersetzt größer gleich a durch kleiner gleich a und ändert sonst nichts? Das kann nicht stimmen. Oder hast du es anders gemeint?
Grüße,
Thomas |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 10:31: |
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Hallo de Willy!
Du und dein Lehrer habt beide recht.
Zunächst gilt
P(|X - E(X)| >= a) >= V(X)/a²
P(|X - E(X)| < a) <= 1 - V(X)/a²
(und nicht "=", wie Thomas schon bemerkte).
Mit a = 5 steht dann da
P(|X - E(X)| <= 4) = P(|X - E(X)| < 5) <= 1 - V(X)/25
Nun darf man aber nicht einfach a = 4 einsetzen. Da hast du schon recht. Stattdessen setzt man einen Wert ein, der geringfügig größer als 4 ist.
P(|X - E(X)| <= 4) = P(|X - E(X)| < 4,0001) <= 1 - V(X)/16,0008
Genauer: du lässt a gegen 4 konvergieren. Damit ergibt sich dann schließlich
P(|X - E(X)| <= 4) <= 1 - V(X)/16
Die Abschätzung deines Lehrers ist besser als deine, denn sie macht genauere Aussagen über die gesuchte Wahrscheinlichkeit. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 11:08: |
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Nachtrag: Die Begründung deines Lehrers ist allerdings abenteuerlich (um nicht zu sagen erbärmlich), wenn er es so gesagt hat, wie du das hier geschildert hast.
Falle ihm also ruhig noch ein wenig auf die Nerven, wieso man "<" durch "<=" ersetzen darf.
Zücke dann des Rätsels Lösung aus dem Ärmel, und mache so den Punktabzug in der Klausur durch eine bessere mündliche Note wett. ;-) |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 11:12: |
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Aha, gute Erklärung. Jetzt habe ich auch kapiert, wie es gemeint war.
Thomas |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 11:34: |
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Noch'n Nachtrag: Die Zusatzinfo, dass X oder E(X) ganzzahlig sind, ist überhaupt nicht von Relevanz.
Es gilt
P(|X - E(X)| <= a) <= P(|X - E(X)| < a + e) <= 1 - V(X)/(a + e)²
für jedes noch so kleine e > 0.
Also ist
P(|X - E(X)| <= a) <= 1 - V(X)/a² |
de Willy (Wildi2001)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 11:37: |
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Hallo, zusammen,
vielen Dank für eure Antworten. Ich freu mich schon auf die Diskussion am Dienstag ...
Also, bis demnächst
de Willy |
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