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Beitrag |
    
ThomasUrak
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 23:18: | 
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Die Aufgabenstellung:
Leite mit Hilfe des Limes die Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion her!
1. Welche Tatsache ergibt sich?
2. Berechne mit Limes die Ableitungsfunktion von y(x)=e^(2x)
3.Berechne mit Limes die Ableitungsfunktion von y(x)=e^(3x)
4..Berechne mit Limes die Ableitungsfunktion von y(x)=e^(kx)
DANKESCHOEN |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 15:21: |
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Hallo,
was ist das denn für eine Aufgabenstellung? Ist die natürliche Exponentialfunktion e^x gemeint) Wahrscheinlich!
"mit limes" verstehe ich mal als "mithilfe des Diffentialquotienten"
f(x)=e^x
lim für h gegen 0 heißt im folgenden lim
lim [f(x+h)-f(x)]/h
= lim [e^(x+h)-e^x]/h
= lim [e^x*e^h-e^x]/h
=e^x*lim[e^h-1]/h
Dann ist es eine Frage der Voraussetzungen:
Wenn man weiß, dass der lim 1 ist, hat man natürlich e^x als Ableitung von x.
Wenn man den Grenzwert noch nicht bestimmt hat, kann man zumindest sagen, dass der Term f'(0) ist.
Aber alles darüber ist Spekulation, kann man nichts zu sagen, wenn man nicht im Unterricht war.
Die restlichen Aufgaben sind dann einfach, wenn man das Ergebnis von oben verwenden kann.
2)f(x)=e^(2x)
lim [f(x+h)-f(x)]/h
= lim [e^(2x+2h)-e^(2x)]/h
= lim [e^(2x)*e^(2h)-e^(2x)]/h
=e^(2x)*lim[(e^h)^2-1]/h
=e^(2x)*lim[e^h-1]/h * lim[e^h+1]
=e^(2x)*1*2=2e^(2x)
3)
f(x)=e^(3x)
lim [f(x+h)-f(x)]/h
= lim [e^(3x+3h)-e^(3x)]/h
= lim [e^(3x)*e^(3h)-e^(3x)]/h
=e^(3x)*lim[(e^h)^3-1]/h
=e^(2x)*lim[e^h-1]/h * lim[e^(2h)+e^h+1]
=e^(3x)*1*3=3e^(3x)
4)
f(x)=e^(kx) Setze mal k als natürliche Zahl voraus
lim [f(x+h)-f(x)]/h
= lim [e^(kx+kh)-e^(kx)]/h
= lim [e^(kx)*e^(3h)-e^(kx)]/h
=e^(kx)*lim[(e^h)^3-1]/h
=e^(kx)*lim[e^h-1]/h * lim[e^((k-1)h)+e^((k-2)h) + .... +1]
=e^(kx)*1*k=ke^(kx)
Ansonsten geht so etwas viel eleganter mit der Kettenregel!
Gruß
Peter
P.S. Die Aufgabenstellung ist eine Frechheit! |
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