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Beitrag |
    
Philipp von der Born (Pvdb)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 19:08: | 
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Hallo,
folgende Aufgabe macht mich gerade so richtig fertig:
Zeige mit Hilfe der Integralrechnung: Ein Kegelstumpf mit dem kleinen Radius r, dem großen Radius R und der Höhe h hat den Rauminhalt
v = pih/3 (r^2 + rR +R^2)
Im Buch ist schon eine Skizze vorgegeben, der Kegelstumpfist umgekippt halbiert dargestellt. klein r ist die y-achse, groß R ist die Integrationsgrenze und h stellt die x-achse dar.
das ganze muss ja dann um die x-achse gespiegelt werden.
mein ansatz:
f(h) = mh + b
f(h) = mh + r
(f(h))^2 = m^2 * h^2 + 2mhr + r^2
V = pi * INTEGRAL((f(h))^2)dx von f(h) - f(0)
V = pi * [2m^2 * h + 2mhr +2r] von f(h) - f(0)
V= pi * (2m^2 * (mh + 1) + 2m(mh + 1)r +r^2)
Das sieht mir aber etwas merkwürdig aus, vor allem mit dem m, weil dieses in der formel ja nicht auftaucht. kann mir jemand diese aufgabe lösen und dabei ein wenig erklären?
wäre sehr dankbar. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 07:24: |
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Hi Philipp,
Dein Rechenansatz kann gerettet werden !
Die Gleichung der Geraden, auf der die erzeugende
Strecke (Meridian) liegt, welche den
Kegelstumpf bei der Rotation um die x.Achse
generiert, lautet :
y = m x + r, mit m = (R-r) / h
Somit erhalten wir für das Volumen V das Integral:
V= Pi * int [ ( m x + r ) ^ 2 * dx ]
untere Grenze 0,obere Grenze h.
V = Pi* int [m ^ 2* x ^ 2 + 2 m * r* x + r ^ 2] * dx
in den genannten Grenzen.
V = Pi * { m^2*h^3/3 + 2*m*r*h^2/2 +r^2*h };
V= Pi * h / 3 * {m^2*h^2 +3m*r*h +3*r^2}
Jetzt ersetzen wir m durch den oben angegebenen Term
Es kommt:
V = Pi * h / 3 {R^2 - 2 R r + r ^ 2 + 3 (R-r)* r + 3 * r^2 }
also:
V = Pi * h / 3 {R^2 + R r + r^2 }
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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