| Autor |
Beitrag |
    
Fuel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 17:48: | 
|
.....von 1 nach e von (ln x)^n dx
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel soll wohl das folgende Integral ausgerechnet werden können:
Integral von 1 nach e von x*[(ln x)^3 - ln x]
Ich hoffe mir kann jemand zumindest mit der Rekursionsformel helfen, ich komme einfach nicht drauf....würde mich freuen! DANKE!!!!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 22:29: |
|
Hi Fuel,
An die Spitze stellen wir ein paar Grundformeln zu Deinem Thema
(i) Rekursionsformel für das unbestimmte Integral J =
int [(ln x) ^ n * dx] = x* (ln x ) ^ n - n* int [(ln x)^(n-1)*dx]
für n nicht – 1.
(ii) dasselbe unbestimmte Integral als Summe :
J = ( - 1 ) ^ n * n! * x * sum [(-ln x) ^ r / r! ]
Summationsindex r = 0 bis r = n .
(iii) Ein bestimmtes uneigentliches Integral:
K = int [(ln x) ^ n * dx ] = (-1)^ n * n!
untere Grenze 0, obere Grenze 1
(iv) Noch eins mit denselben Grenzen:
L = int [(ln1/x) ^ n * dx] = n !
Bemerkungen.
1.(i) kannst Du durch partielle Integration nachweisen
2. (ii) folgt aus (i); Beweis mit vollständiger Induktion.
Schreibe für ein kleines n beide Formeln explizit an,
und Du erkennst das Gesetz.
3. Setze bei (ii) die Grenzen ein: untere Grenze 1 ,
obere Grenze e; so bekommst Du das gesuchte
bestimmte Integral M(n) .
4. Stelle experimentell fest, dass für M(n) gilt:
M(1) = 1
M(2) = e – 2
M(3) = - 2e + 6
M(4) = 9e – 24
M(5) = - 44 e + 120
M(6) = 265 e – 720
M(7) = -1854 e + 5040
M(8) = 14833 e – 40320
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
allgemein
M(n) = u(n) * e + v(n)
Schreibe für u(n) und v(n) Rekursionsformeln oder
geschlossene Formeln.
Ergebnis zum Beispiel mit der dritten Potenz :
Unbestimmtes Integral U :
U = ½*x^2*(lnx)^3–¾*x^2*(ln x)^2+¼*x^2 ln x–1/8 *x^2
Bestimmtes Integral von 1 bis e :
Z = - 1/8 * e ^ 2 + 1 / 8 ~ 0,7986320
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 06:47: |
|
Hi Fuel,
Eine kleine Ergänzung:
Für n = -1 kommt an Stelle der Formel (i) eine
Reihenentwicklung; sie sei hier ohne Beweis angeführt:
int [1 / lnx * dx ] = ln(ln x) + ln x + [(ln x)^2 ] / [2*2!] +
................................+ .[ (ln x)^3 ] / [3*3!] +...................
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Fuel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 20:37: |
|
hmm......danke erstmal für die Hilfe, ich werde mir das mal genauer angucken müssen.....(obwohl wir das heute schon in der schule durchgenommen haben und es anscheinend doch nicht so kompliziert ist, wie ich dachte.....)!!! muß mir aber erstmal einen genauen überblick über das geschriebene verschaffen! danke also nochmal!
peace out |
|
