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Philipp von der Born (Pvdb)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 13:30: | 
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Hallo Leute,
es geht darum den Extremwert einer ln Funktion auszurechnen, die Gleichung lautet:
f(x) = (lnx)^2 - lnx
Hier ist mein Ansatz:
f'(x) = 2lnx * 1/x - 1/x = 1/x (2lnx - 1)
f'(x) = 0
0 = 1/x (2lnx - 1) // :1/x weil man ja nicht durch 0 teilen darf
0 = 2lnx - 1
2lnx = 1
lnx = 1/2
e^lnx = e^1/2
x = e^1/2
Dieses hier ist meine Lösung, ich weiß aber nicht ob dieses richtig ist. Vor allem, ob ich da weiter oben durch 1/x teilen darf? wenn nicht, dann warum?
Wie bilde ich hiervon jetzt eigentlich die 2 Ableitung, damit komme ich nicht klar.
wäre nett wenn mir jemadn helfen könnte.
bye Philipp v. d. Born |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 15:27: |
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Hallo Philipp,
Es ist immer gut, wenn man für jede Funktion, die man untersucht, zuerst den Definitionsbereich bestimmt.
In unserem Fall ist dies: x>0 oder anders geschrieben:
das Intervall (0; oo).
Alle folgenden Rechnungen beziehen sich also nur auf positive x-Werte.
Man könnte also ruhig auch durch 1/x dividieren, denn 1/x ist immer ein positiver Wert. (Niemals = 0 wie du meinst).
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Man argumentiert aber für (1/x)*(2ln(x)-1) = 0
"Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren gleich null ist".
1/x ist nie null
also muss 2ln(x)-1 = 0 sein.
Im Übrigen hast du richtig gerechnet, nur fehlt zur Vollständigkeit noch der Wert f(e^(1/2))
Der Extremwert ergibt sich für x=e^(1/2) und hat den Wert f(e^(1/2)) = -1/4
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Die zweite Ableitung:
f'(x) = 2ln(x)/x - 1/x
-1/x ergibt: +1/x²
und den Term 2ln(x)/x leiten wir nach der Quotientenregel ab:
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
[2*(1/x)*x - 2ln(x)*1]/x²
und zusammen: f''(x) = 3/x² - 2ln(x)/x²
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Nun setzen wir in f'' den Wert x = e^(1/2) ein und erhalten: 2/e dies ist aber
ein positiver Wert, deshalb ist unser Extremum ein Minimum!
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Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 15:35: |
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Philipp von der Born (Pvdb)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 15:47: |
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Hi,
danke für deine ausführliche erklärung hat mir sehr geholfen. dann ist das ganze also gar nicht so schwer. mir fehlt meist immer ein kleiner hinweis für die aufgaben, aber ich werde das noch lernen. mit welchen programm läßt du dir eigentlich immer die grafen zeichnen?
bye Philipp |
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