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ALA
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 12:21: | 
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Ich brauche bitte mal einen Lösungsansatz zu folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung einer Ebene durch A(2;3;4) und B(6;5;16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat.
Recht herzlichen Dank |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 19:53: |
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Hi ANA ,
Was Du wissen solltest :
die Gleichung einer Tangentialebene T, welche
die Kugel x^2 + y^2 + z^2 = 4 im Punkt
B(x1/y1/z1) berührt, lautet
x1 x + y1 y + z1 z = 4………………………….(1)
Wir lösen Deine Aufgabe so, dass wir diejenigen
Tangentialebenen der genannten Kugel,
deren Mittelpunkt im Ursprung O liegt und deren
Radius r = 2 ist, bestimmen, welche durch die
gegebenen Punkte A und B gehen.
Diese Kugel hat die oben angegebene Gleichung
und die oben angegebene allgemeine Form der
Tangentialebene.
Als Lösungen sind zwei Tangentialebenen T1
und T2 zu erwarten
Beide haben den verlangten Abstand r = 2
von O.
Wir nehmen das Ergebnis voraus:
T1 : - 6x + 18 y – z = 38
T2 : 2x + 2 y – z = 6………………………(2)
Wir stellen für die Koordinaten x1 , x2 , x3
eines Berührungspunktes T drei Gleichungen auf:
P1 liegt auf der Kugel, somit:
x1^2 + y1^2 + z1^2 = 4 ...................................(3)
A liegt auf T, also:
2 x1 + 3 y1 +4 z1 = 4 .......................................(4)
B liegt auf T, mithin:
6 x1 + 5y1 + 16 z1 = 4 ……………………….(5)
Aus (4) und (5) berechnen wir x1 und z1,
je ausgedrückt durch y1 ; es entsteht:
x1 = 6 – 7/2* y1 ; z1 = y1 – 2............................(6)
Diese Terme setzen wir in (3) ein, und wir
bekommen eine quadratische Gleichung für y1:
57 y1^2 – 184 y1 + 144 = 0 mit den Lösungen
y1´ = 36 / 19 und y1´´ = 4 / 3 .
Trennung der Fälle
(i) y1 =36 /19 führt mit (6) auf x1 = -12/19, z1 = -2/19
(ii) y1 = 4 / 3 ergibt x1 = 4 / 3 , z1 = - 2 / 3 .
Setzt man diese Werte in die allgemeine Form (1) der Gleichung
einer Tangentialebene ein, so entstehen die Gleichungen (2).
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath. |
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