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Marian (Marian)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 10:41: | 
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Hallo ihr lieben Helfer,
ich brauche unbedingt Hilfe bei dieser Aufgabe (bitte heute noch):
Welche Punkte auf der Geraden g durch die Punkte A und B sind Mittelpunkte einer Kugel mit dem Radius r und der Tangentialebene E?
A (2/5/1); B (0/7/-3); r=2; E: 2x+2y+z=11
Ich hoffe, ihr könnt mir schnell helfen! DANKE! |
Marian (Marian)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 16:08: |
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Hallo ihr lieben, ich bin's nochmal!
Wenn's irgendwie möglich ist, helft mir bitte heute noch!!! Ich benötige die Lösung für MORGEN! |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 17:07: |
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Hi Marian,
Gerade: x = (2;5;1) + t*(-2;2;-4)
Gerade geschnitten mit Ebene: S=(0/7/-3) S ist der Berührpunkt der Tangentialebene an die Kugel mit dem Abstand 2 vom Mittelpunkt, folglich gibt es 2 Mittelpunkte auf g.
Auf eine Längeneinheit normierter Richtungsvekor der Geraden n=1/wurzel aus(24)*(-2;2;-4)
Ortsvektoren der Mittelpunkte:
m1=(0;7;-3)+2*1/wurzel aus(24)*(-2;2;-4) und
m2==(0;7;-3)-2*1/wurzel aus(24)*(-2;2;-4)
Gruß Toby |
Marian (Marian)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 18:42: |
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Hey Toby,
ich verstehe deine Schlussfolgerung,dass es zwei Mittelpunkte auf g gibt nicht. Warum formst du den Richtungsvektor in einen Einheitsvektor um? Sind Näherungswerte für Punkte bzw. Vektoren nicht unzulässig? Ich glaube, ich benötige nochmal eine ausführlichere Erklärung. Bitte hilf mir! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 19:23: |
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Hi Marian,
In einem ersten Schritt ermitteln wir die
Parametergleichung der Geraden g = AB.
Dazu benötigen wir die Koordinaten
vx,vy,vz des Verbindungsvektors v = AB
der beiden Punkte A , B.
Wir erhalten:
vx = 0 - 2 = -2, vy = 7 - 5 = 2, vz = - 3 –1 = - 4
Eine Parametergleichung von g lautet somit:
x = 2 –2 t , y = 5 + 2 t , z = 1 – 4 t ....................…..(1)
In einem zweiten Schritt stellen wir die
Koordinatengleichungen der beiden Parallelebenen
E1 und E2 im Abstand a = 2 von der gegebenen Ebene
E auf ( a muss mit dem Kugelradius r übereinstimmen ).
Zu diesem Zweck bilden wir die Hessesche Normalform
NF der Ebene E.
Diese lautet:
NF.von E: [2x + 2y +z –11] / wurzel (2^2+2^2+1^2) = 0
oder:
[ 2x + 2y + z – 11 ] / 3 = 0
Setzen wir die Koordinaten x,y,z eines Punktes P in
die linke Seite dieser Gleichung ein,
so stellt diese linke Seite den Abstand des Punktes P
von der Ebene E dar.
Dieser Abstand ist für alle Punkte von E1 gleich 2,
für alle Punkte P auf E2 jedoch –2.
Damit erhalten wir zwei Bedingungen, aus denen die
Koordinatengleichungen von E1 und E2 hervorgehen.
E1: [2x +2y + z –11] / 3 = 2 oder
2 x + 2 y + z = 17................................................(2)
E2: [2x +2y + z-11] / 3 = - 2 oder
2 x + 2 y + z = 5………………………………(3)
In einem dritten Schritt berechnen wir die Koordinaten
der Mittelpunkte M1,M2 der gesuchten Kugeln.
M1ist der Durchstosspunkt von g mit der Ebene E1,
M2 derjenige von g mit E2.
Wir setzen die x-,y-,z-Werte aus den Beziehungen (1)
nacheinander in die Ebenengleichungen aus (2) und (3)
ein und erhalten beide Male Gleichungen für t
Mit E1 erhalten wir t = - ½ , damit mit (1) als Koordinaten
des ersten Mittelpunktes x = 3 , y = 4, z = 3 ,also
M1(3/4/3),KugelgleichungLx-3)^2+(y-4)^2+(z-3)^2 = 4
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Mit E2 kommt t = 5/2,also:
x = -3, y = 10 , z = -9
M2(-3/10/-9),Kugelgleichung Lx+3)^2 + (y-19)^1 +(x+9)^2=4
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 19:05: |
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Hallo Marian,
ich bin davon ausgegangen, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der Tangentialebene der Berührpunkt sein soll, deswegen gibt das so krumme Werte für die Mittelpunkte. Erst beim nochmaligen Durchlesen der Aufgabe ist mir aufgefallen, dass dies nicht der Fall sein soll.
Tut mir leid, dass ich dich so verwirrt habe.
Viele Grüße Toby |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 20:15: |
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Fortsetzung:
Und da der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene nicht parallel sind, kann man das auch gar nicht so rechnen wie ich das vorhatte. Der Punkt S kann nämlich nur dann ein Berührpunkt sein, wenn die Mittelpunkte auf einer Geraden durch S liegen mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor.
Mein Ansatz ist somit falsch.
Sorry nochmal Toby |
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