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Wolfgang
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 17:01: | 
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Hi!
Tja, der Titel enthält praktisch schon die komplette Aufgabe: Ich soll das Massenträgheitsmoment (auch Massenmoment oder Trägheitsmoment genannt) eines Torus in allgemeiner Form berechnen, natürlich mittels Integral. Da ich dafür eine Note bekommen werde und nicht betrügen will, möchte ich das schon gerne selbst machen, nur ich tue mich etwas schwer damit, überhaupt einen Ansatz zu finden, bräuchte da also einen Tipp. Angeblich soll das eine ziemlich fiese Aufgabe sein.
Als "Informatiker" tue ich mich mit diesen eher physikalenischen Aufgaben recht schwer. :-(
Viele Grüße,
Wolfgang |
Wolfgang
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 17:04: |
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Hi!
He, ich hatte eigentlich auf Sendevorgang abbrechen geklickt, als ich merkte, dass es das falsche Forum für die Frage ist. Ich stelle sie nochmal dort, wo sie hingehört (Integralrechnung), bitte dort antworten.
Sorry! |
M
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 09:11: |
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Hallo Wolfgang,
Ich kann die Aufgabe unter Integralrechnung nicht finden! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 13:00: |
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Hi,
Es soll das (geometrische) Trägheitsmoment J eines
Torus bezüglich der Symmetrieachse, welche mit der
z-Achse übereinstimmt, ermittelt werden.
Der Torus entstehe durch Rotation eines Kreises mit Radius a
um die z-Achse.
Der Abstand des Mittelpunktes M des Kreises von der z-Achse
sei b ( b>a).
In einem (r,z)-Koordinatensystem hat der Kreis die Gleichung
(r-b)^2 + z^2 = a^2
z1 = wurzel [a^2 – (r-b)^2] ist der grösste z-Wert
z2 = - wurzel [a^2 –(r-b)^2] der kleinste z-Wert.
Zur Ermittlung von J verwenden wir am besten
Zylinderkoordinaten r , phi , z und merken an,
dass das Volumenelement dV in diesen Koordinaten
gegeben ist durch
dV = r * d (phi)* dr* dz .
Für das Träghitsmoment J bezüglich der z-Achse kommt:
J = int [r^2 * dV] = int[int[int [r^2*r*dr]*d(phi] * dz];
mit Benützung der Werte z1,z2 aus der Kreisgleichung von
oben kommt das dreifache Integral
J = int [ r^3 d(phi) dz dr ]
Grenzen :
Für r : untere Grenze b-a, obere Grenze b+a
Für z : untere Grenze z1, obere Grenze z2
Für phi: untere Grenze 0, obere Grenze 2*Pi.
Für J schreiben wir das Doppelintegral:
J = 2*Pi*int [int [r^3*dz*dr]]
Untere Grenze für r : b-a , obere Grenze b+a
Untere Grenze für z: z1 , obere Grenz z2.
Schliesslich kommt das einfache Integral:
J = 4 * Pi * int [ r^3 * wurzel {a^2 – (r-b)^2} * dr ]
Untere Grenze r = b – a, obere Grenze r = b + a.
Hilfreich ist die Substitution
r = b + a * sin t , dr = a* cost * dt
Wenn r von b - a bis b + a läuft, variiert t von
- ½ * Pi bis + ½ * Pi.
Nun kommt für J folgendes:
J = 4* Pi * int [(b+asin t)^3 * a cost * a cos t * dt]
= 4 * Pi * a ^ 2 * int [(b+a sint)^3 * (1- (sint)^2)*dt]
Wir berechnen den Integrand f(t)separat (Klammern lösen):
f(t) = b^3 +3b^2 a sint +(3ba^2 –b^2)(sin t) ^ 2
+(a ^ 3 - 3b^2 a) (sint )^3 –3ba^2 (sin t ) ^ 4 –a^3 (sint )^ 5.
Für die Integration beachte die folgende Rekursionsformel
oder benütze Integrationstabellen;
int [( sin t ) ^ n * dt ] = {(n-1)/n}*int [(sin t) ^ (n-2) ] * dt
Wir erhalten:
J = 4*Pi*a^2*[b^3*Pi+0+(3ba^2 –b^3) ½ Pi +0 –3ba^2*3/4 ½ Pi-0],
vereinfacht:
J = 2*(pi)^2 * a^2 * b * [b^2 + 3 /4 * a^2 ]
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Von früheren Aufgaben her kennt man die Formel für
das Volumen V eines solchen Torus:
V = 2 * (Pi )^ 2 * a ^ 2 * b
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Der so genannte Trägheitsradius R = wurzel(J/V) ist dann
R = wurzel ( b ^ 2 + ¾ * a ^ 2 )
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 14:30: |
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Hi Wolfgang
Die ganze Berechnung kann vollstädnig Maple
überlassen werden.
Das geht elegant und sicher.
Dadurch sind wir auch imstande,
das Ergebnis unserer langwierigen Rechnung
zu überprüfen.
Wir geben ein:
z1:= -sqrt(a^2 –(r-b)^2);
z2:=- z1
J:=int(int(int(r^3,z=z1..z2),f=0..2*Pi),r=b-a..b+a) ;
Als Resultat kommt:
J=2 Pi^2 b^3 a^2 + 3/2 Pi^2 b a^4
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Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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