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Beitrag |
    
Chris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 10:24: | 
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Ich habe 2 Kugeln die sich schneiden
M1(-1/3/1) M2(4/5/1) mit r1 = 6 und r2 = 2
nun kann man zwar per Koordinatengleichungen der Kugeln die Schnittebene herausfinden (10x1+4x2 = 63) , aber es gibt ja auch eine zweite Möglichkeit :
und zwar mithilfe der Strecke , die die Mittelpunkte verbindet.
Aber ich komme nie auf eine äquivalente Schnittebene.
Ich habs so gemacht :
M1M1 = (5,2,0)
also
E : 5x1 + 2x2 = d
d kriegt man wohl über den Abstand der Ebene E zu M1 oder M2 raus!? - Also Hesseform
aber wie komme ich an das "d" ??
THX |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 19:45: |
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Hi Chris,
Du hast die Koordinatengleichung der Ebene E,
in welcher der Schnittkreis der beiden Kugeln liegt,
der so genannte Potenzebene, richtig berechnet.
Die Gleichung lautet 10 x + 4 y = 63.
Wir stellen zur räumlichen Situation
einige Betrachtungen an
und legen die nötigen Bezeichnungen fest.
Die Kreisebene E steht zur Verbindungsgeraden
z = M1M2 der Kugelmittelpunkte, der so genannten
Zentralen, senkrecht .
Der Durchstosspunkt von z mit E sei F.
Jede Ebene durch z schneidet die Kugeln je in einem Grosskreis.
Wir wählen eine beliebige solche Ebene als Zeichenebene,
in der wir die Situation zeichnerisch festhalten.
Die Schnittpunkte A und B der beiden Kreise liegen mit F
auf einer Sekante der beiden Kreise, welche auf z senkrecht
steht
Die Strecken FA und FB stimmen mit dem Radius h des
Schnittkreises überein. FA=FB=h.
Der Abstand a der Mittelpunkte M1,M2 beträgt a = wurzel(29),
wie man leicht mit Vektorrechnung bestätigt.
Wir führen noch die Abstände p = M1 F = p
und M2 F = q ein.
Zur Ermittlung von p , q , h stellen wir drei
Gleichungen auf:
(1) p – q = M1M2 = a = wurzel (29)
(Beachte: M1 und M2 liegen auf derselben Seite der Schnittebene E)
(2) Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck M1 F A:
p ^ 2 + h ^ 2 = r1 ^ 2 = 36
(3) Pythagoras im Dreieck M2 F A:
q ^ 2 + h ^ 2 = r2 ^ 2 = 4
Durch Subtraktion (1)-(2) entsteht
(4) : p ^ 2 – q ^ 2 = 32
Aus der ersten Gleichung berechnen wir q = p – wurzel(29)
und setzen dies in (4) ein; es kommt:
p = 61 / [2 * wurzel(29] , daraus q = 3 / [2 * wurzel(29)]
Für h^2 erhalten wir aus h^2 = 4 – q^2 = 455 /116,
also h = wurzel (455) / [ 2*wurzel (29) ] ~ 1,98
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Dieselben Teilresultate erhalten wir auch mit Hilfe
der Abstandsformel von Hesse.
Die Normalform der Ebenengleichung E
lautet:
[10 x + 4 y – 63 ] / wurzel(10^2 + 4^2) = 0,also :
[10 x + 4 y – 63 ] / [ 2*wurzel(29) ] = 0
Setzt man für x , y, (z) die Koordinaten der Mittelpunkte ein,
so erhält man die mit Vorzechen behafteten Abstände dieser
Punkte von E.
Jedenfalls sind die Vorzeichen dieselben, ein Zeichen (!)
dafür, dass M1 und M2 auf derselben Seite von E liegen.
Die Absolutbeträge sind
p = 61/ [2*wurzel(29)] , q = 3 / (2* wurzel(29)],wie oben.
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Der Radius des Schnittkreises ist schnell gerechnet.
h = wurzel[ r2 ^2 - q^2 ] = wurzel(4 – 9/116) =wurzel(455/116).
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser, megamath. |
Chris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 20:26: |
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Danke für die große Ausführung.
Aber der Haken an der Sache ist , das E nicht gegeben ist. Dies hab ich aus einer zweit-Lösung bekommen (Schnitt zweier Kugeln).
die Ebene mithilfe der Mittelpunkte zu bekommen scheint mir die aufwändigere Lösung.
Besonders da ich die Hesseform mit einer Variablen (d) , nicht richtig lösen kann , oder irgendwas vergessen habe.
also gegeben ist nur :
M1(-1/3/1) M2(4/5/1) mit r1 = 6 und r2 = 2
gesucht wird die Schnittkreis ebene
THX |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 07:13: |
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Hi Chris,
Der von Dir vorgeschlagene Lösungsweg ist
durchführbar, aber recht umständlich.
Ausgangspunkt ist die planimetrische Ueberlegung
in meiner letzten Arbeit zum Thema.
Die Bezeichnungen werden von dort übernommen.
Beachte, dass das Dreieck M1 M2 A durch die drei
Seiten
M1 A = r1 = 6, M2 A = r2 = 2 und
M1 M2 = a = wurzel(29) gegeben ist.
F ist der Fusspunkt der Höhe h durch A;
h stimmt mit dem Radius des Schnittkreises überein,
und es gilt h = wurzel [455 / (2*wurzel(29)].
Wesentlich für die folgende Berechnung ist
die Länge p der Strecke M1 F
p = 61 / [2*wurzel(29], die man aus dem erwähnten
Gleichungssystem berechnet.
Wir benötigten bei dieser Rechnung die Gleichung der
Ebene E nicht, so dass keine Tautologie vorliegt.
v sei der Verbindungsvektor der Punkte M1 M2
Wir erhalten: v = {5 ;2; 0}
Der Betrag b von v ist b = wurzel (29);
Multiplizieren wir v mit dem Reziprokwert von b,
d.h .mit 1/ b,
so erhalten wir den zu v gehörigen Einheitsvektor w :
w = 1 / wurzel(29) * {5;2;0}
Nun tragen wir das p-Fache des Vektors w, d.h.
den Vektor 61 / [2*wurzel(29)]* 1 / wurzel(29 ) * {5;2;0}
= 61 / 58 * {5;2;0} vom Punkt M1 ab.
Der Endpunkt des Vektors ist der Punkt F ,dessen
Koordinaten lauten:
xF = -1 + 5* 61 / 58 = 247 / 58
yF = 3 + 2* 61 / 58 = 296 / 58
zF = 1 + 0 = 1
Nun können wir endlich die Gleichung der Ebene E anschreiben
Da E senkrecht zum Vektor v steht, lautet die Gleichung von E
im Ansatz:
5 x + 2 y = d.
Setzen wir die Koordinaten von F in diese Gleichung ein,
so kommt :
d = 1 / 58* [ 5 * 257 + 2* 296 ] = 1827 / 58 = 31,5
Multiplizieren wir noch mit 2, so entsteht:
10 x + 4 y = 63 als Gleichung von E ; BRAVO !
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Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath. |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 12:55: |
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Hallo,
der Sinn so mancher Aufgaben ist genauso unbestimmt, wie die Realität von "Nessy". Doch eins ist gewiss: Im Nebel kommt man auf viele Gedanken.
Die Aufgabe verhält sich genauso, wie der Versuch in die engste Parklücke rückwärts einzuparken, obwohl noch viele Parkplätze frei sind. Nur eine Aufgabe für Fahrschüler ;-)
Gruß Toby |
chris
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 23:23: |
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wenn du 1000x geübt hast in eine enge Parklücke einzuparken ,dann wird dir ja das Einparken in einen total freien Parkplatz ganz leicht fallen.
sowas steckt wohl dahinter.
auch wenn mans nicht glauben mag :
ich habs kapiert , jetzt muss ich es nur noch in die tat umsetzen.
"verstehen ist ganz einfach , aber selber machen umso schwerer"
vielen dank |
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