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Beitrag |
    
Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 19:23: | 
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Hallo alle mal!
Ich hab ganz viele problwem (und das grösste,das morgen SA is)...könnt ihr mir bitte helfen?
Also,
1) wie gehe ich bei einer Flächenberchnung einer Kurve vor?
bsp:
geg: f:y= 3x - x²
g:y= 1/2 x
ges.: A zwischen f und g
ich hab da doch absolut keine genauen Angaben...worauf muss ich da achten,oder wie kann ich das lösen??
2)
ich hab ein bsp,das lautet, y= x³ - 4x² -x +4 (gegeben)
ges: A,den die kurve mit x-achse einschliesst....
ich versteh ja noch,dass ich mir zuerst einen x-wetr suchen muss und dann dividiere um eine quadratische Gleichung zu bekommen...was ich dann allerdings nicht verstehe,ist,dass ich beim A dann als Grenzen einmal (integral) 1 und -1 PLUS (integral)4 und 1 hab
(bei der quadratischen gleichung kommt x1=4,x2= -1 raus)
und wieso muss ich hier auf einmal addieren? Normalerweise muss ich doch subtrahieren oder?
Bitte helft mir,ist echt total dringend!!!!!!!!! |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 19:57: |
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1) gesucht ist der Inhalt der Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird.
Dazu berechnest du erstmal die Schnittstellen:
f=g <=> 3x-x^2=(1/2)x
-x^2+(1/2x)=0
-x(x-1/2)=0
x=0 oder x=1/2
Die Kurven schneiden sich also bei 0 und 1/2
Mit dem bestimmten Integral von a bis b kannst du
den Flächeninhalt (mit VZ) zwischen einer Kurve und der x-Achse ausrechnen.
Das kannst du für beide Kurven tun. Die Differenz ist dann die Fläche zwischen den Kurven.
Noch schneller:
Integral von a bis b (f-g)dx
Also im Beispiel brauchen wir das Integral von 0 bis 1/2 über (f-g)dx
f-g=(3x-x^2-(1/2)x)=-x^2+(1/2)x
2) Erstmal brauchst du die Nullstellen der Funktion:
Bilden wir erstmal eine Stammfunktion
F(x)=(1/3)x^3+(1/4)x^2
Nach dem Hauptsatz ist das Integral
F(1/2)-F(0)=1/24+1/16-0=2/48+3/48=5/48
Die eingeschlossene Fläche ist 5/48 FE groß.
Man hätte auch g-f rechnen können, dann hätte man den negativen Wert herausbekommen.
2)Also du hast die 3 Nullstellen errechnte -1, 1 und 4.
Wo werden jetzt Flächen eingeschlossen?
jeweils zwischen zwei Nullstellen
Also einmal berechnest du das Integral von -1 bis 1, nimmst den Betrag als Flächeninhalt.
Dann wird noch eine Fläche zwischen 1 und 4 eingeschlossen; wieder integrieren und den Betrag nehmen.
Die Flächeninhalte kannst du dann addieren, um die gesamte Fläche zu erhalten.
Eine Stammfunktion ist F(x)=(1/4)x^4-(4/3)x^3-(1/2)x^2+4x
F(-1)=1/4+4/3-1/2-4=3/12+16/12-6/12-48/12=-35/12
F(1)=1/4-4/3-1/2+4=29/12
F(4)=64-256/3-8+16=72-256/3=-40/3
Die Fläche zwischen -1 und 1
F(1)-F(-1)=29/12-(-35/12)=64/12=16/3
die Fläche liegt oberhalb der x-Achse
F(4)-F(1)=-40/3-29/12=-160/12-29/12=-189/12=-63/4
Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, der Inhalt ist aber 63/4
Beide Flächeninhalte zusammen ergeben 16/3+63/4=64/12+189/12=253/12 |
Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 20:06: |
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*mitrechne*
aba wie kommst du von:
3x-x^2=(1/2)x
auf:
=======> -x^2+(1/2x)=0 ist 3 mins 1/2 nicht 5/2?
*nervenweghau+ |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 20:44: |
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Stimmt, natürlich!!! Hatte irgendwie die 3 zur 1 degradiert 5/2 ist richtig!!!
-x^2+(5/2)x=0
-x(x-5/2)=0
x=0 oder x=5/2
Die Kurven schneiden sich also bei 0 und 5/2
Mit dem bestimmten Integral von a bis b kannst du
den Flächeninhalt (mit VZ) zwischen einer Kurve und der x-Achse ausrechnen.
Das kannst du für beide Kurven tun. Die Differenz ist dann die Fläche zwischen den Kurven.
Noch schneller:
Integral von a bis b (f-g)dx
Also im Beispiel brauchen wir das Integral von 0 bis 5/2 über (f-g)dx
f-g=(3x-x^2-(1/2)x)=-x^2+(5/2)x
Bilden wir erstmal eine Stammfunktion
F(x)=(1/3)x^3+(5/4)x^2
Nach dem Hauptsatz ist das Integral
F(5/2)-F(0)=125/24+(125/16)=250/48+375/48
Die eingeschlossene Fläche ist 625/48 FE groß.
*** Zu Weihnachten wünsche ich mir nen Taschenrechner *** |
Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 21:07: |
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puuuuuuuuuh...also ich hab das mal gerechnet...aba ich kom mauf einen ganz anderen Wert...ich checks eifnach nicht .o(....
ich hab:
- x² + 5/2 ...das integriert: -x³/3 + 5x²/4....das auf einen nenner gebracht... -4x³/12 +15 x²/12....
oder darf ich das nicht?
*verwirrtschau*
und was mir da dann rauskommt,ist meine Fläche?...einfach nur die Schnittstellen berechnen und dann das zeug integrieren und voneinander abziehen,das is alles?
*Christkindspiel und Taschenrechner schick*
*Vom nikolaus wünsch ich mir ein hirn* |
Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 21:12: |
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achja,eine frage am rande: was ist 3x integriert?
3x²/2?
Aber wenn ich das differenziere,komm ich nicht mehr auf 3x... *grübel* |
Anne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 21:20: |
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Hmmm,ich hab noch ein neues Bsp.gfunden....
das hab ich nur eine kurze Frage:
also es lautet:
y= a xhoch4 + bx³ +cx²+dx+e hat in (0/0) einen W
x-Achse ist die wendetangente,n2(-4/0)
fläche die kurve mit x-achse begrenzt ca 12,8 E²
ges: kurvendisk + graph
da muss ich ja uerst einmal die gleichungen suchen
f''(0)=0
f(-4)=0
f(0)=0
f'(0)=0
wofür steht was?
das mit dem minus vier steht für die nullstelle,das weiss ich...das f''(0) für den Wendepunkt....aber die anderen beiden versteh ich nicht ganz.....kannst du mir da vielelciht auch noch weiterhelfen bitte *liebschau* |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 22:08: |
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also zu 1) du kannst gleichnamig machen, macht keinen unterschied!
Jedes bestimmte Integral von a bis b kannst du so berechnen:
F(b)-F(a)(Das ist der Hauptsatz!)
also einfach b in die stammfunktion einsetzen, a einsetzen, abziehen, fertig! da kann auch ein negativer Wert rauskommen! Wenn ein Flächeninhalt gesucht ist, nimmst du einfach den Betrag
zu 2)f(x)=3x => F(x)=(3/2)x^2
Wenn du wieder ableitest bleibt (3/2) als konst. Faktor erhalten und x^2 abegeleitet ist 2x, kürze dann einfach die 2 gegen die 2 von (3/2) und du hast es
3.)Bedingungen
1. (0/0) ist Punkt des Graphen=> Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 0 => f(0)=0 => e=0
2. (0/0) ist Wendepunkt => Bei 0 ist eine Wendestelle => f''(0)= 0 (notw. Bed. für WS)
3. x-Achse ist Wendetangente an W => Die Wendetangente an W hat die Steigung Null(da ja die x-Achse die Steigung Null hat) => die Ableitung im Punkt W ist Null => f'(0)=0
4.(-4/0) ist Punkt des Graphen => der funktionswert an der Stelle -4 ist Null => f(-4)=0
Bevor man die fünfte Info angeht, reduziert man erstmal die Anzahl der Variablen
Also einige bekommt man geschenkt aus 1) e=0; aus 2) c=0; aus 3)d=0
Also ist f(x)=ax^4+bx^3
Mit der 4. Info 256a-64b=0 => b=4a
Also f(x)=ax^4+4ax^3
Nullstellen:
ax^4+4ax^3=0
ax^3(x+4)=0
x=0 oder x=-4
Die Fläche wird also zwischen -4 und 0 eingeschlossen.
Stammfunktion
F(x)=(a/5)x^5+ax^4
F(0)=0
F(-4)=-1024a/5+256a=256a/5
F(0)-F(-4)=-256a/5
Der Flächeninhalt in Abh von a beträgt 256a/5
256a/5=12,8 => 256a=64 =>a=1/4
Anmerkung: Die ca-Angabe ist blöd! |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 22:15: |
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Kurvendiskussion ist ja dann klar
für f(x)=(1/4)x^4+x^3, oder? |
Anne
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 06:35: |
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Dankeeeschön...ich geh jetzt in die Schule...und stell mich den Integralen *mutigschau*.....halt ma einen Daumen bitte *ggg* (weil 2 brignen ja Unglück*
Danke!!!!!! |
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