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Romi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 15:03: | 
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Hallöchen, ich hoffe, dass hier jemand erbarmen mit mir hat und bei der folgenden Aufgabe hilft.
Für den Funktionterm f(x)= x³+ax²-4x+b sollen die Formvariablen a und b so bestimmt werden, dass der Graph der Funktion f: x® f(x) die x-Achse im Punkt A(-3;0) schneidet und an der Stelle x=-2 ein lokales Minimum hat.
a)Berechne die übrigen Schnittpunkte von G mit der x-Achse sowie die Lage der Extrema und die Wendestelle!
b) Welchen Inhalt hat die Figur, die von g, den Geraden g1:x-y+3=0, g2:x+3=0 und g3:x+1=0 gebildet wird?
Danke
Romi |
Christian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 16:16: |
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Hi Romi
Also erstmal zur Funktionsgleichung:
Nullstelle im Punkt A(-3|0):
0=(-3)^3+a*((-3)^2)-4*(-3)+b
0=-27+9a+12+b
15=9a+b
Lokales Minimum bei x=-2
f'(x)=3x²+2ax-4
f''(x)=6x+2a
0=12-4a-4
a=2
f''(-2)=-8 (Komischerweise ein Hochpunkt an der stelle, ich denke mal du meintest ein lokales maximum und rechne so weiter)
Das eingesetzt bei der ersten Bedingung:
15=18+b
b=-3 -> f(x)=x³+2x²-4x-3
a)
Die weiteren Nullstellen bekommst du nun durch Polynomdivision:
(x^3+2x^2-4x-9)/(x+3)=x^2-x-1
x^2-x-1=0
x=(1+-Wurzel(5))/2
Das sind die beiden anderen Nullstellen.
Extrema:
f'(x)=0
0=3x²+2ax-4
Eine Lösung war x=-2, die andere ist x=2/3
(Einfach die quadratische Gleichung lösen oder durch (x+2) dividieren und =0 setzen)
f''(2/3)=8 ->TP
Wendepunkte:
0=6x+4
x=-2/3
f'''(x)=6 (Hinreichend für Wendepunkt)
b)
So, die Geraden g2 und g3 sind im Prinzip nur die Integrationsgrenzen.
g2: x=-3
g3: x=-1
Es muss jetzt also die Fläche zwischen den beiden Graphen f(x) und g1(x) im Intervall [-3,-1] berechnet werden:
integral von -3 bis -1 von f(x)-g1(x)
=integral von -3 bis -1 von x³+2x²-5x-6
=[(1/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2-6x] von -3 bis -1
Die Zahlen eingesetzt ergibt das eine Fläche von 16/3
MfG
C. Schmidt |
Romi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 12:16: |
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Hi Christian,
Danke schön für deine Hilfe
Gruss Romi |
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