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Beitrag |
    
Kristin
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 16:51: | 
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Die Vektoren v1,....vm seien linear abhängig. Beweise, dass dann die Vektoren v1,...vm,vm+1,...,vn ebenfalls linear abhängig sind! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 11:42: |
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Hi Kristin,
Wir formulieren den Satz so:
Wenn ein Teil der n Vektoren a1,a2,a3,....,an linear abhängig ist,
dann sind es auch die n Vektoren in ihrer Gesamtheit.
Beweis
Wir nehmen an, dass die m ersten Vektoren a1,a2,...,am (m<n)
linear abhängig sind.
(durch eine eventuelle Umnumerierung kann dies stets erreicht werden).
Dann gibt es m Zahlen s1,s2,..,sm, die nicht alle null sind, für welche gilt:
s1*a1+s2*a2 +...+ sm * am = 0.
Setzen wir s(m+1) = s(m+2) =….= sn = 0 , so wird
s1*a1+s2*a2+…+ sm*an + s(m+1)*a(m+1)+…+ sn*an = 0 und
es sind nicht alle sj null.
Somit sind die n Vektoren a1,a2,…,an gesamthaft linear abhängig ,w.z.z.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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