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Juliane
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 16:30: | 
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Habe mich hier schon umgeschaut und einige Hilfen zu der Volumenbestimmung eines Torus gefungden, komme aber irgendwie nicht auf die Lösungen und finde den Fehler in meinem Rechenweg nicht.
Durch meinen Lehrer ist Folgendes vorgegeben:
V=pi*integral(f(x))²
V= pi*integral -r bis r R²+2R*wurzel aus r²-x² + (r²-x²)
habe dann für die Wurzel 0,5pi*r² eingesetzt
Tja, und wenn ich dann versuche weiterzurechnen, mache ich scheinbar ständig irgendwelche Fehler.Habt ihr Tipps und Hilfen für den Rechenweg? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 13:57: |
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Hi Juliane,
Herleitung der Volumenformel für den Torus
Der Torus entstehe durch Rotation des Kreises mit Radius r
und Mittelpunkt M(0/R) auf der y-Achse um die x-Achse;
selbstredend gilt R>r.
1:Methode
Mit der Regel von Guldin erhalten wir sofort für das Volumen V:
V = A* L
A = Pi * r^2 : Fläche der Kreises
L = 2 * Pi * R : Umfang eines Kreises vom Radius R als
Weg des Schwerpunktes der Kreisfläche bei der Rotation
um die x -Achse. Somit gilt:
V = 2 * P i ^ 2 * r ^ 2 * R
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2.Methode
Mit Hilfe des Integrals
V = Pi * int [f(x)^2 *dx] in gewissen Grenzen.
Im Laufe der Integration stossen wir auf Integrale über
Sinuspotenzen in den Grenzen 0 bis ½ *Pi ,nämlich
S(n) = int [sin(phi)^n*d (phi)]; es gilt:
S(0)= ½ * Pi , S(1) = 1, S(2)= ¼ * Pi , S(3) = 2 / 3.
Der eingangs erwähnte Kreis hat die Gleichung
x ^ 2 + (y - R )^ 2 = r ^ 2
Wir legen den zur x-Achse parallelen Durchmesser AB .
Der oberhalb AB liegende Halbkreis beschreibt bei
der Rotation um die x-Achse zusammen mit den
Ordinatenlinien durch A und B einen Körper, der aussieht
wie ein Handrad (Volumen V1) ; der untere Halbkreis
mit Endordinaten beschreibt einen Körper, der aussieht wie
eine Seilrolle (Volumen V2).
Das gesuchte Volumen des Torus entsteht als Differenz
V = V1-V2.
Auflösung der Kreisgleichung nach y; es kommt
y = R + (+/-) wurzel(r^2 - x^2); das obere Zeichen gibt das Handrad,
das untere die Seilrolle. Wir schreiben die Volumenformel:
V1,2 = Pi* int[y^2*dx]=
Pi* int[(R^2 + (+/-)2R*wurzel(r^2 - x^2) + r^2 - x^2)*dx],
untere Grenze -r, obere Grenze r .
Für die Auswertung dieses Integrals ist die Substitution
x = r * cos(phi) , dx = - r * sin(phi ) * d(phi) naheliegend .
Die neuen Grenzen sind 0 und Pi.
Auf Wunsch werde ich die Integration im Detail vorführen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Chris
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2014 - 10:22: |
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Hallo H.R.Moser,
der Hinweis, dass man x=r*cos(phi) substituiert, hat mir sehr geholfen! Meine Frage: Wie komme ich auf diese Wahl der Substitution? Rückwärtsarbeiten?
Vielen Dank!} |
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