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Kerstin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 17:01: | 
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Ich habe ein Problem mit der Integralrechnung, und zwar soll ich die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen, weiß aber nicht, wie das geht.
Die beiden Graphen sind gegeben:
f(x) = 1/4 x^3 - 3x
g(x) = x^2
Als erstes muss ich die Schnittstellen bestimmen, richtig? Die sind nach dem Gleichsetzungverfahren und anschließender pq-Formel
x1=0, x2=6, x3=-2
Und dann steht da 'Abschnittsweise integrieren'.
Damit kann ich leider wenig anfangen.
Könntet ihr mir die Aufgabe mal vorrechnen?
Vielen Dank dafür! |
Florian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 19:33: |
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Hallo Kerstin,
Wenn Du eine Funktion integrierst, musst Du aufpassen, das nicht über die Nullstellen
hinweg integriert wird, da die Fläche
unterhalb der x-Achse negativ ist.
Gleiches gilt für die Fläche zwischen zwei Funktionen, hier darf nur zwischen den Schnittpunkten integriert werden, wobei man die
"kleinere Funktion", d.h. die untere der zwei Funktionen von der oberen subtrahiert.
Dein gesuchtes Integral setzt sich dann wie folgt zusammen:
ò0 6 h(x)dx = ò-2 0 (f(x)-g(x))dx + ò0 |12 f(x)dx +ò0 |12 g(x)dx +ò|12 6 (g(x)-f(x))dx
|12 bedeutet Wurzel aus 12 (=Nullstelle von f(x))
mfG
Florian |
Kerstin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 12:21: |
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Florian, ich verstehe nicht so ganz, was diese Buchstaben-, Zahlen- und Integralkombination heißen soll! Tut mir leid, bin zu blöd dafür!
Könntest du es vielleicht mal ausrechnen, am besten mit möglichst wenigen Buchstaben und dafür die richtigen Zahlen einsetzen?
Vielen Dank! |
Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 13:43: |
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Tach,
ich will es noch einmal etwas einfacher erklären:
Für die Fläche zwischen 2 Graphen auf dem Intervall [a;b] gilt immer
A = òa b[f(x)-g(x)]dx
wobei f(x) auf dem gesamten Intervall [a;b] größer sein muss als g(x).
In deinem Beispiel ist das nicht der Fall. Auf dem Intervall [-2;0] ist f(x)>g(x), aber auf dem Intervall [0;6] ist g(x)>f(x). Daher muss man die zwie Flächeninhalte getrennt voneinander berechnen. Hier gilt dann:
A1 = |ò-2 0((1/4)*x3-3x-x2))dx|
A2 = |ò0 6(x2-(1/4)x3+3x)dx|
Um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen einfach A1 + A2 rechen.
MfG
Brainstormer |
Kerstin
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 17:52: |
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Hallo Brainstormer, vielen Dank für deine Hilfe!
Könntest du mir trotzdem vielleicht erklären, wie du auf A2 kommst? |
Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 18:19: |
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Ja, aber sicher doch.
Wie gesagt ist die fläche, die von 2 funktionen
f(x) und g(x) auf dem Intervall [a,b]eingeschlossen wird :
A = òa b[f(x)-g(x)]dx
wobei auf [a,b] f(x) stets GRÖßER sein muss als
g(x). Da auf dem Intervall [0,6] f:=f(x) = x2 stets größer ist als g:=g(x) = (1/4)x3 - 3x, muss für die Fläche, die von f(x) und g(x) auf dem Intervall [0,6] eingeschlossen wird, gelten:
A = ò0 6[(x2)-((1/4)x3-3x)]dx
was ja nichts anderes ist als das, was ich in dem anderen Eintrag schon erwähnt habe.
MfG
Brainstormer |
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