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Beitrag |
    
ulmerspatz@gmx.de
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 19:28: | 
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Hallo,
brauche Hilfe, bin mit dieser Aufgabe total überfordert.
Gegeben sei die Funktion f(x)= e^x
a) Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion für eine beliebige Stelle x = u auf.
b) Bestimmen Sie das Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von f zwischen x = 0 und x = 10 um die x-Achse entsteht.
c) Für welches u hat das Dreieck , gebildet auf der Tangente von Teil a) und den beiden
Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt?
Grüße und Danke im voraus
Ulmerspatz |
ulmerspatz@gmx.de
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 21:01: |
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Da ist mir ein Fehler unterlaufen.
Die Funktion soll f(x)=e^-x lauten. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 11:48: |
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Hi Ulmerspatz,
a) Ableitung der Funktion y = e ^ (-x):
y ´ = - e ^ ( - x ) ;
Steigung m der Tangente t im Punkt P1 (u / e ^ (-u) ):
m = - e ^ ( - u ) .
Gleichung von t :
y - e ^ ( - u ) = m * ( x - u) ,also:
y = - e ^ ( - u ) * x + e ^ ( - u ) * [ 1 + u ]
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b) Rotationsvolumen v :
V = Pi * int [ y ^ 2 * dx], untere Grenze 0 , obere Grenze 10
Somit :
V = Pi * int [ e ^ (- 2 x ) * dx ] = - ½ * Pi * e ^( - 2 x )
in den genannten Grenzen.
V = ½ * Pi * [ 1 - e ^ ( - 20 ) ]
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c) Schnittpunkte P,Q von t mit den Koordinatenachsen:
mit der x-Achse P(p/0);
y = 0 in der Tangentengleichung führt auf
p = 1 + u
mit der y- Achse Q(0/q),
x = 0 in der Tangentengleichung führt auf
q = e ^ ( - u ) * ( 1 + u )
Fläche A des Dreiecks OPQ:
A = ½ * p *q = ½ * e ^ (- u) * (1+u)^2
Ableitung A´ von A(u) nach u:
A´= ½ *{- e ^( - u ) * (1+u)^2 + e ^(-u) * 2 (1+u)} =
= ½ * e^(-u)*(1+u) * [ -1 - u + 2 ]
A´ ist null ,wenn die eckige Klammer null ist also für
u = 1
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Maximalwert A * von A:
A* = A(1) = 2*e^(-1)
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
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