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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 20:49: | 
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Hallo!
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Eine ganzrationale Funktion 3.Grades hat im Punkt
P(1/4) eine Tangente,die parallel zur x-Achse
liegt.Q(0/2) ist Wendepunkt des Graphen.
a)Bestimme die Funktionsgleichung
b)Berechne die von dem Funktionsgraphen und der
x-Achse eingeschlossene Fläche. |
reinhard
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 13:31: |
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Hallo!
a)
Die allgemeine Gleichung einer Funktion 3. Grades lautet:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
deren Ableitung ist:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
und deren Ableitung:
f''(x) = 6ax + 2b
Versuchen wir aus dem Text Informationen zu sammeln: Zum einen wissen wir 2 Punkte der Funktion: (1/4) und (0/2), also f(1)=4 und f(0)=2. Außerdem ist die Tangente an P parallel zur x-Achste, also hat die Steigung 0. f'(1)=0. Und f hat in Q einen Wendepunkt. Bei Wendepunkten ist die 2. Ableitung 0, also f''(0)=0
Setzen wir die Ergebnisse ein. erstmal die einfachen, wie f''(0)=0
f''(0) = 0 = 2b
b = 0
Damit haben wir schon eine Variable eliminiert.
Weiters wissen wir:
f(0) = 2 = a0³ + c0 + d = d
d = 2
weiter
f'(1) = 0 = 3a + c
c = -3a
und
f(1) = 4 = a + c + 2; das c eingesetzt
4 = a -3a + 2
2 = -2a
a = -1
c = -3(-1) = 3
Wir kennen nun alle Variablen, also
f(x) = -x³ + 3x + 2
b)
Die Fläche unter einem Grafen berechnet man mit dem Integral. Aber man braucht auch die Grenzen, von wo bis wo man integriert. Die Grenzen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achste, also die Nullstellen von f.
Durch probieren erhält man: f(-1) = 0
Polynomdividieren:
(-x² + 0x² + 3x + 2):(x+1) = -x² + x + 2
-x² + x + 2 =0
x²-x-2=0
x= 1/2 +- wurzel (1/4 + 2)
x= 1/2 +- 3/2
x1 = 2
x2 = -1
Also alle Nullstellen der FUnktion sind -1 und 2
Die Fläche ist also ò-1 2f(x)dx
ò-1 2 -x³ + 3x + 2 dx =
-x^4/4 + 3x²/2 + 2x |2;-1 =
12-(-3/4) = 12,75
Reinhard |
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