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Laura Dalhaus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 17:59: | 
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a) Durch die Punkte P1 und P2 auf dem Graphen der Funktion f(x)= x^2 ist die Sekante gezeichnet und zu ihr eine parallele Tangente. Durch den Berührpunkt der Tangente ist ist die Parallele zue y-Achse gezeichnet. Beweisen oder widerlegen Sie, dass diese Parallele die Sekante im Mittelpunkt der Strecke P1P2 schneidet.
b) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dies nicht unbedingt mehr gilt, falls ein anderer Funktionsgraph gegeben ist. Anleitung: Verwenden Sie einen Halbkreis.
Bitte bis heute Abend. Ich muss darüber morgen einen Vortrag halten und knobele da seit Montag dran! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 22:06: |
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Hi Laura,
Die Normalparabel y = x^2 schneiden wir mit der Geraden g :y = mx + q in den Punkten P1 und P2 (P1, P2 sind dann die in der Aufgabe gegebenen Punkte) .
Die Gleichsetzung der y führt auf die quadratische Gleichung in x für die x-Werte der Punkte P1, P2 .
Sie lautet: x^2 - m x - q = 0. Wir brauchen diese Gleichung nicht einmal nach x aufzulösen, sondern wir bestimmen mit Vieta bloss die Summe s der beiden Lösungen : s = x1 + x2 = m.
Nun ermitteln wir den Mittelpunkt N der Strecke P1 P2 : bekanntlich gilt: xN = (x1 + x2) / 2 also x N = m/2 .
Die zu g parallele Tangente der Parabel hat ebenfalls die Steigung m . Aus der Ableitung der Parabelgleichung , also aus y ' = 2x , ermitteln wir den x-Wert des Berührungspunktes B : es gilt 2x = m , somit xB = m/2.
Schlussfolgerung : Da die Punkte B und N dieselben x-Koordinaten haben , ist ihre Verbindungsgerade BN zur y -Achse parallel , d.h. nichts anderes als dies: die Parallele durch B zur y-Achse geht durch N , wzbw. Entwirf auch eine Skizze der Situation !
Die Sache mit dem Kreis folgt etwas später
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
An Laura,
Das Gegenbeispiel mit dem Halbkreis ist rasch dargelegt:
Zeichne einen beliebigen Kreis mit Mittelpunkt M auf der +y-Achse, der durch den
Nullpunkt geht. Eine Gerade g schneide den (Halb)kreis in den Punkten P1, P2 .Die zu g parallele Tangente t an den Kreis habe den Berührpunkt B. Die Gerade MB (auf ihr liegt der Berührungsradius) schneidet die Gerade g gerade im Mittelpunkt N der Strecke P1 P2.. Somit ist die Verbindungsgerade der Punkte B und N niemals zur y -Achse parallel wie im Beispiel der Parabel. Das leuchtet wohl ein .
Mit den besten Wünschen auf Deinen morgigen Auftritt.
H .R. |
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