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Beitrag |
    
Gerald Hackl (Gerald)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 17:38: | 
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gegeben ist eine Ellipse erster Hauptlage
ell: b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 und dieser wird ein Rechteck eingeschrieben. gesucht der maximale Flächeninhalt. ein Beispiel von unserem Leherer kennt sich da jemand aus? |
J
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 07:48: |
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Vermutlich soll das rechteck achsenparallele seiten haben!Wenn das nicht vorausgesetzt ist, wirds schwer.
Sonst:
Die Achsen sind symmetrieachsen für die gegebene ellipse. Deshalb genügt es, den 1. Quadranten zu betrachten.
Ausserdem kommen die konstanten a und b nur quadriert vor. wir können also annehmen, das a und b beide positiv sind. sonst Musst du einfach a und b durch |a| bzw |b| ersetzen.
Flächeninhalt des viertel-rechtecks: A = x*y
Ellipsengleichung nach y auflösen(unter der einschränkung, dass x und y beide positiv sind)
a²y² = a²b²-b²x²
y² = b²-(b²/a²)x² = b²(1-x²/a²)
y= b*wurzel(1-x²/a²)
In die Zielfunktion einsetzen:
A= x*b*wurzel(1-x²/a²)
Da a und b beide nicht als zahl gegeben sind, ist nur das Verhältnis von a und b interessant, weil damit die form der ellipse festgelegt wird. Wir setzen daher a= 1.
Damit:
A= b*x*wurzel(1-x²)
Da b konstant ist, wird a maximal, wenn x*wurzel(1-x²) maximal ist.
Wir bestimmen also das maximum von x*wurzel(1-x²)
mit f(x)= x*wurzel(1-x²)
gilt:
f'(x) = wurzel(1-x²) -2x²/(2*wurzel(1-x²)
Nullstellen von f':
0 = wurzel(1-x²) -2x²/(2*wurzel(1-x²)
<=> wurzel(1-x²)= x²/ wurzel(1-x²)
<=> 1-x² = x²
<=> 1=2x²
<=> x=wurzel(1/2), da im 1. Quadranten x>0 gilt.
wegen y= b*wurzel(1-x²) gilt y= b*wurzel(1-1/2) =b/wurzel(1/2)
Und für den flächeninhalt des viertel rechtecks im 1. quadranten gilt A= b* 1/2
Hoffe, dass ich mich nicht verrechnet hab!
Gruß J |
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