| Autor |
Beitrag |
    
E.T. (Hellmann)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 16:48: | 
|
Hallo
Brauche dringend Hilfe
Aufgabe:
a) f(x)= 1/48(80-24x^2+x^4)
Untersuche auf Symetrie, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichne das Schaubild von F.
b) Die Wendetangenten und die Tangenten des Schaubildes in den Extrempunkten bilden ein Trapez. Berechne den Flächeninhalt A und den Umfang U dieses Trapezes.
Bitte heute noch, ist sehr wichtig für mich!! Danke |
MH
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 21:51: |
|
Hallo
a)
Wenn in einer Funktion nur ungerade Potenzen (hoch 3,4,5 usw.) (oder wie in deinem Fall nur gerade Potenzen (hoch 2 und hoch 4)) vorhanden sind, dann kann man die Symmetrie so bestimmen. Diese Funktion ist achsensymetrisch da zwei gerade Potenzen vorkommen.
Mathematisch schreibt man das glaube ich so:
f(-x)=f(x) --> da beide Potenzen gerade sind, bleibt das Vorzeichen auch bei -x positiv.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen der Fkt.
Du musst f(x)=0 setzen, also 1/48(80-24x^2+x^4)=0
Ausmultipliziert sie das Ganze dann so aus:
(x^4-24x^2+80)/48 = 0
wenn du einen Rechner mit Algebrafunktion hast, ist das kein Problem, wenn nicht ist es etwas aufwendiger. Am besten du schreibst unter jeden Term den Nenner 48
(also z.B. x^4/48 - 24x^2/48 usw.).
Dann musst du x durch eine Substitution ersetzen, dann man sonst die Gleichung nicht nach 0 auflösen kann:
z^2 = x^4
und
z = x^2
Nun hast du eine quadratische Gleichung, die du nach z auflösen kannst. Du erhälst möglicherweise zwei Lösungen für z, wenn du die Wurzel ziehst, den positiven und negativen Wert der Zahl unter der Wurzel.
Dann rechnest du wieder in x um:
du hast zwei Werte rausbekommen z1 und z2,
z entspricht x^2 also musst du aus dem Wert z1 die Wurzel ziehen um die x1 und x2 herauszubekommen (das sind dann die ersten beiden Schnittpunkte mit der x-Achse).
Dann das Ganze nochmal mit z2 machen, dann bekommst du x3 und x4.
(beim Wurzelziehen kann auch manchmal nur ein Wert herauskommen, wenn unter der Wurzel 0 steht, also müssen nicht zwangsläufig vier Schnittpunkte rauskommen, im höchsten Fall sind es vier).
Jetzt haben wir x1,x2,x3,x4!
Ich poste das jetzt erstmal, gleich geht es weiter!
Gruß
MH |
MH
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 22:11: |
|
Extrempunkte:
Bei Extrempunkten ist die erste Ableitung 0
Also muss du f(x) ableiten dann hast du f'(x).
Müsste f'(x) = [x (x^2 - 12)]/12 sein.
Dann:
f'(x)=0 -> hierfür dann wiederum alle x-Werte ausrechnen.
0 = [x (x^2 - 12)]/12 -> durch mit 12 malnehmen, dann hat man
0 = x (x^2 - 12)
also ist
x'1 = 0
x'2 = - 2 mal die Wurzel aus 3
x'3 = + 2 mal die Wurzel aus 3
An diesen Stellen kann je ein Extrema liegen. Um das vollständig zu prüfen, musst du die zweite Ableitung, also f''(x) an den drei x-Stellen ausrechnen. Es gilt:
f''(x) > 0 --> Tiefpunkt (Minimum)
f''(x) < 0 --> Hochpunkt (Maximum)
Wenn bei einer der drei x-Werte f''(x) = 0 herauskommt handelt es sich nicht um einen Extrempunkt. |
MH
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 22:19: |
|
Wendepunkte:
Zweite Ableitung null setzen f''(x) = 0 und wieder die x-Werte ausrechnen.
An der jeweilgen x-Stelle dann die dritte Ableitung f'''(x) ausrechnen, also z.B. f'''(x''1). Wenn hierbei eine Zahl herauskommt, die ungleich null ist, dann handelt es sich um einen Wendepunkt.
Um die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte selbst zu bestimmen, musst du die x-Werte, die sich als die x-Werte eines Extremas bzw. einer Wendestelle herausgestellt haben in die Usprungsfkt. einsetzen und den Wer für f an diesen Stellen berechen. |
MH
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 22:28: |
|
b)
Jetzt muss man die Wendetangente berechnen:
Allgemeine Geradengleichung lautet:
y = m*x + b
Wobei m für die Steigung steht, also für die erste Ableitung f'(x). Da du den Wendepunkt in der Aufgabe vorher berechnet hast (die Koordinaten der Wendepunkte musst du dann für x und y einsetzen), brauchst du noch m um nach b auflösen zu können.
Also rechnest du f'(x) an den x-Stellen der Wendetangenten aus, das ist dann je die Steigung, der Fkt in diesen Punkten, also die Steigungen m der Wendetangenten.
Nun alle Werte y,x und m jeweils in die Gleichungen einsetzen und nach b auflösen.
Dann hast du die Gleichungen der Wendetangten. |
MH
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 23:04: |
|
Mist eben ging der Teil mit dem Trapez verloren, aber vielleicht reicht dir das ja bis jetzt. Kann den Rest noch morgen anfügen, jetzt ist es aber zu spät. |
E.T. (Hellmann)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 15:24: |
|
Vielen Vielen Dank MH,
Hast mir sehr weitergeholfen!
mfg Hellmann |
|
