| Autor |
Beitrag |
    
Kalif
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 11:05: | 
|
Hallo,
Kann mir jemand die folgende Ungleichung beweisen ?
Vielen Dank im voraus !
1/sqrt(2n +1)>{1*3*5..*(2n-1)}/{2*4*6..*(2n)}>1/{2*sqrt(n+1)}
sqrt(n) bedeutet : Quadratwurzel aus n .
Kalif |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 06:56: |
|
Hi Kalif,
Als Hofmathematiker ist es meine angenehme Pflicht,
die von Dir gestellte Aufgabe nach bestem Wissen und
Gewissen zu lösen.
Wir treffen Vorbereitungen, die zum Beweis Deiner
Ungleichungskette (U) nützlich sein werden
1) Ein Lemma ; es gilt ,wie man leicht nachweist:
3 / 1 * 5 / 3 * .....* (2n+1)/( 2n –1 ) = 2n + 1.....................................(L)
2) Nach dem Satz über das arithmetische und geometrische
Mittel zweier pos.Zahlen
A > G
(das arithmetisches Mittel A ist grösser als das geometrische G)
findet man:
½ * [ n + (n + 1) ] > wurzel [ n* (n+1) ]...........................................(M)
3) Beinahe trivial ist die Ungleichung
[wurzel ( n+1)] / (2n+1)] > 1 / [2*wurzel(n+1) .............................(T)
A)
Beweis des linken Teils in Ungleichung (U)
Aus 2n > wurzel [(2n-1)*(2n+1)] folgt
2n / (2n-1) > wurzel [(2n+1) / (2n-1) ]
somit:
[2 * 4* .....*(2n) ] / [1 * 3 *....*(2n – 1)] <
wurzel [(3*5*...*(2n+1) /( 1*3*...*(2n-1)] = wurzel (2n +1);
das letzte Gleichheitszeichen gemäss (L).
Nimmt man noch die Reziprokwerte
(Ungleichheitszeichen umkehren!),
so ist der erste Teil des Beweises erledigt.
B)
Beweis des rechten Teils der Ungleichung (U)
Nach (M) können wir schreiben :
2n + 1 = n + (n+1) > 2 * wurzel[n*(n+1)]
mithin :
(2n+1) / (2 n) > wurzel[n (n+1)] / n = [wurzel(n+1)] / wurzel(n)
Daraus folgt:
[3*5*..*(2n+1) ] / [2*4*..*(2n) ] > wurzel(n+1)
Wir dividieren beide Seiten mit (2n+1) und erhalten:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*...*(2n)] > [ wurzel(n+1)] / (2n + 1 )
Nach der Ungleichung (T) entsteht daraus die zweite
Ungleichung in (U), womit auch der zweite Teil des
Beweises erledigt ist.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
|
