| Autor |
Beitrag |
    
Heinz Hoffmann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 12:50: | 
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Wie geht man technisch vor, um bei einer Funktionsgleichung
f(x)= Irgendein oder mehrere Terme von x
a) die Stetigkeit oder Nicht-Stetigkeit zu belegen
Probieren geht immer, aber gibt es eine Regel
b) Wie kann man rechentechnisch eine Monotonie beweisen?. Ich denke, in dem man keine Extrema findet, über die Ableitungsrechnungen. Ist das ok?
c) Ist es richtig, dass man eine Symmetrie immer dann ausschliessen kann, wenn gerade und ungerade Potenzen von X in den Termen zusammen vorkommen, mit anderen Worten; Sind rein geradzahlige Potenzen immer mit Spiegelsymmetrie und rein ungeradzahlige Potenzen immer mit Punktsymmetrie verbunden?
Besten Dank für eine Antwort
Heinz |
Andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 15:19: |
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Hallo Heinz!
a)
Will man eine Funktion auf Stetigkeit an einem
bestimmten Punkt x0 überprüfen, so bildet
man die Grenzewerte
fr=lim f(x0+h)
h->0
fl=lim f(x0-h)
h->0
Falls gilt: fr=fl=f(x0), dann ist die Funktion
an dieser Stelle stetig
b)
Du hast recht, hat eine Funktion auf dem
Intervall [a;b] keine Extrema,
dann ist sie auf diesem Intervall streng monoton.
Für f'(x)<0 streng monoton fallend,
für f'(x)>0 streng monton steigend.
c)
Mit deiner zweiten Aussage hast du recht.
Eine Funktion mit ausschließlich geraden
Exponenten ist stets symmetrisch zur y-Achse
(z.B. 7x^6+4x^2+5, wobei die Konstante 5 auch
einen geraden Exponenten hat, denn es gilt:
5=5*x^0)
Umgekehrt sind reine ungerade Funktionen
punktsymmetrisch zum Ursprung
(z.B. 5x^5-2x^3-4x)
Beweisen lässt sich das so:
Symmetrie zur y-Achse: f(-x)=f(x)
Symmetrie zum Ursprung: f(-x)=-f(x)
(kann man sich z.B. an den Funktionen x² bzw. x³
klarmachen).
Bei gemischten Exponenten lässt sich eine
Symmetrie nicht so einfach ausschließen.
Einfaches Beispiel:
x³ ist sicher punktsymmetrisch,
x³+1 aber auch.
Bei gemischten Exponenten ist sowohl eine
Symmetrie zu einer anderen Achse als der
y-Achse, sowie eine punktsymmetrie zu einem
anderen Punkt als dem Ursprung.
Man muss an Hand des Schaubildes eine Vermutung
aufstellen, und diese dann beweisen.
Allgemeine Achsensymmetrie beweist man mit
f(x0+h)=f(x0-h)
Allgemeine Punktsymmetrie ist etwas aufwendiger:
Soll f(x) symmetrisch sein zu P(x0|y0),
muss gelten: 2*y0=f(x0+h)+f(x0-h)
Bei Kurvendiskussionen wird meist nur die
Untersuchung auf Grundsymmetrien
(zur y-Achse oder zum Ursprung) verlangt,
ansonsten steht es extra dabei.
Ciao, Andreas |
Heinz Hoffmann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 20:11: |
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Hallo Andreas,
> a)
> Will man eine Funktion auf Stetigkeit an einem
> bestimmten Punkt x0 überprüfen, so bildet
> man die Grenzewerte
> fr=lim f(x0+h)
> h->0
>
> fl=lim f(x0-h)
> h->0
> Falls gilt: fr=fl=f(x0), dann ist die Funktion
> an dieser Stelle stetig
Ich verstehe noch nicht, wie man technisch den Grenzwert bildet. Dazu muss man doch die erste Ableitung bilden oder wie geht man vor um den Grenzwert zu bestimmen?
Wieso heißen die fr und fl?
Und was bedeutet es die Stetigkeit einer Funktion in EINEM bestimmen Punkt (in deiner Formulierung der Punkt x0) zu bestimmen?
Stetigkeit bedeutet doch, dass eine Funktion nicht unterbrochen ist. Aber wieso berechnet man dann das ganze in EINEM Punkt??
> b)
> Du hast recht, hat eine Funktion auf dem
> Intervall [a;b] keine Extrema,
> dann ist sie auf diesem Intervall streng
> monoton.
> Für f'(x)<0 streng monoton fallend,
>für f'(x)>0 streng monton steigend.
>
>
Ja, und wenn f'(x) dagegen =0 ist, sind Extremwerte vorhanden. Aber wie geht man auch hier rechnerisch vor? Muss man die erste Ableitung null setzen und wenn dann keine Werte rauskommen ist die Funktion monoton?
Wenn ja, wie bestimmt man dann letztendlich ob sie steigend oder fallend monoton ist?
Vor allem wenn sich das Ganze nicht nur auf ein bestimmtes Intervall [a;b], sondern auf die Ganze Funktion von unendlich bis -unendlich bezieht?!
Danke für die Tipps,
Heinz |
Andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 22:13: |
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Hallo Heinz!
zu a)
Die Untersuchung auf Stetigkeit funktioniert
ohne die Ableitung, denn die Stetigkeit einer
Funktion ist die Vorbedingung für ihre
Differenzierbarkeit.
Was die Stetigkeit in einem Punkt betrifft:
Ob ich eine Funktion auf ganz D auf stetig ist,
oder ob ich ihre Stetigkeit in einem Punkt
überprüfe sind zwei verschiedene Fragestellungen.
Wenn die Aufgabe heißt:
Überprüfe die Funktion auf Stetigkeit, und
du findest einen Punkt, an dem sie nicht stetig
ist, dann kannst du über sie sagen:
sie ist nicht stetig.
Es könnte z.B. aber auch gefragt sein:
Prüfe ob die Funktion an der Stelle x0=2 stetig
ist.
Ich mach mal ein Beispiel:
f(x)=|x-4| (| | als Betragsstriche)
Überprüfe auf Stetigkeit auf ganz D
Erstens: Betragsfrei schreiben
f(x)=x-4 für x>=4 (größergleich 4)
f(x)=-(x-4)=-x+4 für x<4
Zweitens: Feststellen, an welchen Punkten die
Funktion unstetig sein könnte.
Es gibt einen Satz, dessen Beweis ich allerdings
nicht kenne, der besagt, dass alle
ganzrationalen Funktionen auf ganz D stetig sind.
Wir brauchen also nur "verdächtige" Punkte
zu untersuchen.
Hier sticht sofort die Stelle x0=4 ins Auge,
denn das ist quasi die "Nahtstelle" zwischen
den zwei Funktionen x-4 und -x+4
Grenzwerte bilden:
Zur besseren Anschauung, zeichne dir die
Funktion (bzw. die zwei Teilfunktionen) einmal.
Drittens: Grenzwerte bilden:
Und zwar den linksseitigen Grenzwert fl, bei
Annäherung an die mögliche Unstetigkeitsstelle
x0=4 von links (x<4)
und den rechtsseitigen Grenzwert fr bei
Annäherung von rechts (x>4).
Also:
fl=lim f(4+h)=lim[(4+h)-4]= lim h =0
h->0 h->0 h->0
Ich setze hierbei für x 4+h in die Teilfunktion, die für x>=4 definiert war, ein.
Dann habe ich vereinfacht, und dann h gegen 0
gehen lassen, indem ich, mathematisch etwas
salopp gesagt, für h 0 eingesetzt.
Falls das mal nicht gehen sollte (z.B. weil
h im Nenner steht, muss der Bruch
ggf. vorher umgeformt werden.
fr=lim f(4-h) =lim[-(4-h)]+4=lim h=0
h->0 h->0 h->0
Hier muss man nun die Teilfunktion verwenden,
welche für x<4 definiert ist.
Es gilt also schon einmal fr=fl
Viertens: Zeigen, dass gilt fr=fl=f(x0)
Dazu rechen wir einfach f(4) aus
Wir nehmen dazu die Teilfunktion, die für
x>=4 definiert ist.
f(4)=4-4=0
Fünftens: Schlussfolgerung
Da die Bedingung fr=fl=f(x0) erfüllt
ist, ist die Funktion f(x) an der einzigen Stelle,
an der sie möglicherweise unstetig sein könnte, stetig.
Also ist die Funktion f(x)=|x-4| auf ganz D
stetig.
Du musst also die Funktionen in Teilintervalle
aufteilen (falls diese nicht schon vorgegeben sind)
und dann die "Nahtstellen" zwischen den
Teilfunktionen überprüfen.
b)
Wierum richtig. Du setzt f'(x)=0 und prüfst,
ob es Extrema gibt.
Beispiel:
f(x)=x³-3x
f'(x)=3x²-3
f''(x)=6x (2.Ableitung zur Kontrolle ->hinreichende Bedingung)
f'(x)=0 setzen:
3x²-3=0
x²=1
2 Lösungen: x1=1, x2=-1
f''(1)=6>0 ==>Tiefpunkt T(1|-2)
f''(-1)-6<0 ==>Hochpunkt H(-1|2)
Es gibt 2 Extrema.
Andererseits lässt sich sagen:
Außer an den Stellen x1=1 und x2=-1
verläuft die Funktion streng monoton.
Damit lässt sie sich in drei
sogenannte Monotonieintervalle zerlegen:
I1=]-unendlich;-1[
I2=]-1;1[
I3=]1;+unendlich[
Die nach außen geöffneten Klammern heißen dabei,
dass bei ]a;b[ die Punkte a und b selbst
nicht zum Intervall gehören, sondern nur die
"dazwischen" liegenden Punkte.
Nun prüfe ich das Vorzeichen von f'(x)
in den jweiligen Intervallen. Dazu kann ich
einfach einen beliebigen x-Wert, der in diesem
Interval liegt, in f'(x) einsetzen, denn
jede Funktion, und somit auch f'(x),
können ihr Vorzeichen nur an einer Nullstelle
ändern.
Erstes Intervall: I1=]-unendlich;-1[
Ich setze für x -2 ein, denn -2 liegt in diesem
Intervall.
f'(x) war 3x²-3
f'(-2)=3*4-3=9, das ist positiv.
Somit ist f(x) auf dem Intervall I1
streng monoton steigend.
Zweites Intervall I2=]-1;1[
Hier ist es am einfachsten x=0 zu wählen:
f'(0)=-3
Das ist negativ also ist die Funktion
auf I2 streng monton fallend.
Drittes Intervall: I3=]1;+unendlich[
Ich nehme x=2
f'(2)=3*4-3=9
Das ist positiv, somit ist f(x) auf I3 streng
monoton steigend.
Eine Funktion als Ganzes kann man nur als streng
monoton bezeichnen, wenn sie auf ganz D keinen Extremwert hat.
Ob steigend oder fallend überprüfe ich dann wieder,
indem ich diesmal einen ganz beliebigen x-Wert
in f'(x) einsetze. x=0 ist oft recht einfach.
Wie schon gesagt: Das Vorzeichen der Ableitung
bestimmt. ob steigend oder fallend.
Ciao, Andreas |
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