| Autor |
Beitrag |
    
Jana (Ephedra)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 12:43: | 
|
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Formx + iy mit x,y e R und geben Sie ihren Betrag an.
1/(3+5i)
((1+i)/(1-i))²
(-0.5 +((Wurzel aus 3)/2)*i)³
(1+i) hoch n + (1-i) hoch n
Wer kann mir helfen??? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 11:01: |
|
Hi Jana,
a) erweitere den Bruch mit der konjugiert komplexen
Zahl 3 –5i des Nenners:
z = 1 / (3 + 5 i ) = ( 3 – 5 i ) / [( 3 + 5 i ) * ( 3 – 5 i ) =
(3-5 i ) / 34 = 3 / 34 – 5 / 34 * i
Betrag von z : abs(z) = 1 / 34 * wurzel (3^2 + 5^2) =
1 / wurzel(34)
°°°°°°°°°°°°°°
b) Wir berechnen zuerst q = ( 1 + i1 ) / ( 1 – i1 ) ,
indem wir den Bruch mit (1 + i1 ) erweitern:
q = (1 + i1) ^ 2 / [ (1-i1) * (1+i1) ] =
(1 + i1) ^ 2 / 2 = i2 / 2 = i1
die gesuchte Zahl z ist :
z = q ^ 2 = ( i 1 ) ^ 2 = - 1 , mit abs (z ) = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
c) Wir stellen die Basis b der dritten Potenz
in trigonometrischer Schreibweise dar :
b = cos 120 ° + i sin 120 ° , wie man leicht nachprüft ;
eine geistreiche Abkürzung dafür ist: b = cis 120°
Soll b mit 3 potenziert werden, so ist das Argument 120°
dieser Zahl mit 3 zu multiplizieren
Wir erhalten das Resultat
z = cis 360° = 1 , Betrag abs(z) = 1.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
d) Die Rechnung ist etwas umfangreicher.
Als Resultat entsteht eine von n abhängige Zahl z(n),
welche reell ist , nämlich :
z(n) = 2 ^ [(n+2)/2] * cos (n * 45°)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Am besten unterscheidet man mehrere Fälle,
indem man die Restklassen modulo 8 heranzieht.
Es ergeben sich für cos ( n * 45 °) der Reihe nach
die Werte :
1 ; ½ * wurzel(2) , 0 ; - ½ * wurze(2) ; -1
- ½ * wurzel(2) , 0 . – ½ * wurzel(2)
Die Beträge bestimmt man am besten für die
verschiedenen Fälle einzeln (ad hoc) .
Eine Herleitung zu d) kann auf Wunsch
nachgeliefert werden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.. Moser,megamath. |
Jana (Ephedra)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 08:16: |
|
Danke, danke  Bis c is mir alles soweit klar nun , nur d macht mir zu schaffen. Wir hatten die Polarform nie behandelt und nun faellt es mir schwierig, die Loesung nachzuvollziehn. Vielleicht koennte mir die Herleitung doch ein bisschen weiterhelfen..
Mit freundlichen Gruessen,
Jana |
|
