| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 20:12: | 
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Hallo!
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich
sein:Ein Viereck ist gegeben durch A(-2/-2/1);
B(3/-2/3),C(4/1/3) und D(-1/1/1).
a)Berechne die Vektoren AB,BC,CD und DA
B)Um was für ein Viereck muss es sich demnach handeln?
c)Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB
d)Berechne den Mittelpunkt der Strecke AD
e)Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen |
reinhard
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 21:22: |
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Hallo!
a) Einen Vektor von A nach B berechnest du einfach, indem du A von B anziehst, also B-A = (3/-2/3)-(-2/-2/1) = (5/0/2)
Beim Vektor BC, also von B nach C geht das genauso:
BC = C-B = (4/1/3)-(3/-2/3) = (1/3/0)
Dasselbe mache bei CD und DA
heraukommen tut: CD = (-5/0/-2) und DA = (-1/-3/0)
b)Wenn die Frage gestellt wird, um was für ein viereck es sich handelt, empfielt es sich, ersteinmal zu überprüfen, ob es nicht ein Rechteck ist (die meisten Vierecke in Mathe-Hausübungen sind Rechtecke). Bei einem Rechteck müßten AB und CD parallel sein. Zwei Vektoren sind dann parallel, wenn der eine ein vielfaches vom anderen ist.
(5/0/2) und (-5/0/-2) sind parallel, weil (5/0/2)=-1(5/0/2), also einer ein -1-faches vom anderen ist.
außerdem sind, wie du überprüfen kannst, BC und DA auch parallel.
Es besteht aber noch die Möglichkeit, daß es doch kein Rechteck ist, sondern bloß ein Parallelogramm. Um dies zu überprüfen, müssen wir feststellen, ob AB und BC aufeinander normal stehen. Es gibt einen Satz, der sagt, daß zwei Vektoren, die aufeinander normal stehen, 0 ergeben, wenn sie skalarmultipliziert werden.
Also AB*CD = (5/0/2)(1/3/0) = 5*1+0*3+2*0 = 5
Dieses Viereck ist also kein Rechteck, sondern ein Parallelogramm.
c) Der Vektor AB gibt die Strecke von A nach B an. wir brauchen aber nur die halbe Strecke, damit wir zum Mittelpunkt von AB kommen. Also halbiere den Vektor AB und zähle in zu A dazu. Und schon hast du den Mittelpunkt von AB
(-2/-2/1)+(5/0/2)/2 = (-2/-2/1)+(2,5/0/1) = (0,5/-2/2)
d) mach dasselbe wie in c)
e) Wie du sicher weißt, haben Diagonalen von Parallelogrammen folgende Eigenschaft: sie halbieren sich gegenseitig. Das heißt der Schnittpunkt der Diagonalen ist gleichzeitig der Mittelpunkt beider Diagonalen, also der Mittelpunkt von AC und auch der Mittelpunkt von BD. Mache also folgendes. Berechne den Vektor AC (wie das geht weißt du aus bsp a) und Berechne den Mittelpunkt von AC (wie das geht weißt du aus c)
Reinhard |
reinhard
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 21:28: |
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Hallo!
a) Einen Vektor von A nach B berechnest du einfach, indem du A von B anziehst, also B-A = (3/-2/3)-(-2/-2/1) = (5/0/2)
Beim Vektor BC, also von B nach C geht das genauso:
BC = C-B = (4/1/3)-(3/-2/3) = (1/3/0)
Dasselbe mache bei CD und DA
heraukommen tut: CD = (-5/0/-2) und DA = (-1/-3/0)
b)Wenn die Frage gestellt wird, um was für ein viereck es sich handelt, empfielt es sich, ersteinmal zu überprüfen, ob es nicht ein Rechteck ist (die meisten Vierecke in Mathe-Hausübungen sind Rechtecke). Bei einem Rechteck müßten AB und CD parallel sein. Zwei Vektoren sind dann parallel, wenn der eine ein vielfaches vom anderen ist.
(5/0/2) und (-5/0/-2) sind parallel, weil (5/0/2)=-1(5/0/2), also einer ein -1-faches vom anderen ist.
außerdem sind, wie du überprüfen kannst, BC und DA auch parallel.
Es besteht aber noch die Möglichkeit, daß es doch kein Rechteck ist, sondern bloß ein Parallelogramm. Um dies zu überprüfen, müssen wir feststellen, ob AB und BC aufeinander normal stehen. Es gibt einen Satz, der sagt, daß zwei Vektoren, die aufeinander normal stehen, 0 ergeben, wenn sie skalarmultipliziert werden.
Also AB*CD = (5/0/2)(1/3/0) = 5*1+0*3+2*0 = 5
Dieses Viereck ist also kein Rechteck, sondern ein Parallelogramm.
c) Der Vektor AB gibt die Strecke von A nach B an. wir brauchen aber nur die halbe Strecke, damit wir zum Mittelpunkt von AB kommen. Also halbiere den Vektor AB und zähle in zu A dazu. Und schon hast du den Mittelpunkt von AB
(-2/-2/1)+(5/0/2)/2 = (-2/-2/1)+(2,5/0/1) = (0,5/-2/2)
d) mach dasselbe wie in c)
e) Wie du sicher weißt, haben Diagonalen von Parallelogrammen folgende Eigenschaft: sie halbieren sich gegenseitig. Das heißt der Schnittpunkt der Diagonalen ist gleichzeitig der Mittelpunkt beider Diagonalen, also der Mittelpunkt von AC und auch der Mittelpunkt von BD. Mache also folgendes. Berechne den Vektor AC (wie das geht weißt du aus bsp a) und Berechne den Mittelpunkt von AC (wie das geht weißt du aus c)
Reinhard |
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