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Beitrag |
    
Lena
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 17:39: | 
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Hallo,
es wäre echt wichtig, wenn mir jemand bei folgender Aufgabe möglichst noch heute Abend helfen könnte.
Beweise, dass sich der Wert von (axb)* c (Spatprodukt) nicht ändert, wenn man zu einem der drei Vektoren eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren addiert.
Falls euch dazu auch noch was einfällt:
Beweise oder widerlege:
Der Flächeninhalt eines Spats, der von drei Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten aufgespannt wird, ist ganzzahlig.
Wäre echt lieb, wenn das bis spätestens morgen früh jemand bewiesen haben könnte.
Danke! |
Sophia
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 22:22: |
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Hallo Lena,
Siehe
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/22050.html?1004982336 |
Rainer Karsch
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 22:28: |
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Hallo Lena,
Das Spatprodukt ist Null, wenn einer der drei Vektoren doppelt auftritt:
Bekanntlich ist
1. axa=0 nach Definition des Kreuzproduktes
2. axb orthogonal zu a und b
3. das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren gleich Null
Daher ist (axa)b=0b=0, (axb)b=0, (axb)a=0.
Im folgenden sind s und t reelle Zahlen.
1. Fall: (axb)(c+sa+tb)=(axb)c+s(axb)a+t(axb)b=
(axb)c+0+0=(axb)c
2. Fall: ((a+sb+tc)xb)c=((axb)+s(bxb)+t(cxb))c=
((axb)+t(cxb))c=(axb)c+t(cxb)c=(axb)c+0
Den 3. Fall schafft du jetzt bestimmt selber.
Das Spatprodukt entspricht dem Volumen eines Spats. Geometisch das Spatvolumen= Grundfläche*Höhe. Durch hinzufügen von Linearkombinationen der anderen Vektoren, ändert sich nur die Neigung nicht aber die Höhe des Spats. Deshalb bleibt das Volumen gleich, bzw. ändert sich das Spatprodukt nicht.
Zur Ganzzahligkeit:
Falls ihr schon Determinanten habt ist alles ganz einfach. Für das Spatprodukt gilt nämlich:
(axb)c=det(a,b,c)=Berechnung mit Sarrusregel
Die Sarrusregel besteht nur aus Produkten, Summen und Differenzen. Alle Koordinaten der Vektoren sind ganzzahlig, daher treten nur Produkte, Summen und Differenzen ganzer Zahlen auf, die ebenfalls ganzzahlig sind. (Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet einen Ring.) Die Determinante ist also ganzzahlig und damit auch das Spatprodukt. |
Schwupps_di_wupps (Schwupps_di_wupps)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2008 - 10:23: |
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Hallo,
ich hätte dazu auch noch eine Frage, ich weiß, dass die Beiträge sehr alt sind, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen:
Für das Spatprodukt gilt:
(axb)c=det(a,b,c)
Kann mir da jemand sagen, wo ich einen Beweis dazu finde, oder kann mir das jemand beweisen? Beweis im R^2 wäre super, aber im R^n optimal...
danke im voraus! |
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