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Höhere Ableitung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Ableitungen » Höhere Ableitung « Zurück Vor »

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Kätzchen
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 13:58:   Beitrag drucken

Hilfe, das ist dringend!
Ich habe als hausaufgabe bekommen, sämtliche Lehrbüchjer nach diesem beweis durchzusehen, den ich aber leider nicht fand:
Beweise, dass eine funktion einen/mehrere Extremwert(e) hat, wenn die erst Ableitung die ungleich null ist gerader ordnung ist und dass eine Funktion einen Wendepunkt hat, wenn die erste Ableitung, die ungleich null ist ungerader Ordnung ist. Beispiel: f(x)=x^6 hat einen/mehrere Extremwerte, denn f''''''(x)=720 ist die erste Ableitung die ungleich null ist und gerader Ordnung.
Ich habe eine ungefähre Ahnung, wie der ausdruck ist, der zu beweisen wäre, doch der Beweis...
Ich brauchs bis Montag... könnt ihr mir helfen?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 21:34:   Beitrag drucken

Hi Kätzchen,
Vorbemerkungen
-Wir werden uns im folgenden ausschliessslich um Maxima und Minima kümmern, und die
Angelegenheit Wendepunkt zurückstellen, weil die Bestimmung eines Wendepunktes darauf hinausläuft, für die erste Ableitung der gegebenen Funktion einfach das Extremum (Max oder Min ) zu suchen.
-In der Praxis umgeht man die Methode, höhere Ableitungen heranzuziehen, weil deren Berechnung sehr oft kompliziert ist. Man arbeitet mit der ersten Ableitung allein und benützt das Kriterium:
An der Stelle xo liegt ein Extremum der Funktion f(x) vor , wenn an dieser Stelle die erste Ableitung null ist und dabei ihr Vorzeichen wechselt. (die Untersuchung spielt sich nicht allein in x0 ab, sondern bezieht eine geeignete Umgebung von xo mit ein
Geht dieser Vorzeichenwechsel von f' bei wachsenden x-Werten von + zu -.so handelt es sich um ein Maximum bei - zu + um ein Minimum; ändert f '(x) sein Vorzeichen nicht ,liegt ein Terrassenpunkt vor.
-Zur Beantwortung Deiner Frage zitiere ich Dir aus einem Standardwerk der Analysis , aus dem zweiten Band " Vorlesungen über Differential - und Integralrechnung " von A. Ostrowski, Birkhäuser, Basel.
-An Vorkenntnissen solltest Du über die Taylorentwicklung oder mindestens über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung verfügen
Mit der Zitierung werde ich morgen beginnen und bei Bedarf noch ein anderes Buch heranziehen, je nach Erfolg meiner Bemühungen.
Bis dann.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 08:14:   Beitrag drucken

An Kätzchen,
Hier der versprochene Auszug aus dem genannten Lehrbuch.
Anm: im folgenden benütze ich an Stelle der üblichen Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben theta den lateinischen Buchstaben t. Ferner bedeutet das Symbol f ^ (n) (xo) die n-te Ableitung von f(x) an der Stelle xo Wie bekannt, stellt n! (n-Fakultät) das Produkt
1*2*3 ..*n dar
Jetzt kann es losgehen:
Wir nehmen an, dass f(x) in xo n-mal (n>1) differenzierbar ist und dass die n-te Ableitung die erste ist, die an der Stelle xo nicht null ist . Es sei also
f ' (xo) = f ' ' (xo) = .... = f ^ (n-1 (xo) = 0 , f ^ (n) (xo) nicht null , (n>1) (Formel O )
Um das Verhalten von f (x) beim Durchgang durch xo zu untersuchen , benützt man am besten die Taylorsche Formel. Diese liefert mit dem Restglied n-ter Ordnung für hinreichend kleines h:
f(xo + h) - f (xo) = h ^ n / n! * f(n) (xo + t * h) mit 0 < = t < = 1 (Formel 1)
Hier hat offenbar f ^ (n) (xo + t * h) für hinreichend kleine h das Vorzeichen von f ^ (n) (xo) . Wie ändert sich hier die rechte Seite , wenn h durch 0 hindurchgeht?
Offenbar kommt es darauf an, ob n gerade oder ungerade ist.
Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 08:40:   Beitrag drucken

Fortsetzung:
Ist n gerade , so ist der Faktor h^n / n! positiv für h-Werte , die nicht null sind., so dass die rechte Seite für absolut hinreichend kleines h das Vorzeichen von f ^ (n) (xo) hat
Ist dieses Vorzeichen positiv, so ist wegen Formel 1
f (xo+h) > f (xo) ,
solange h von null verschieden und klein genug ist. Dann also hat f(x) an der Stelle xo ein Minimum .
Ist aber dieses Vorzeichen negativ, so ist die rechte Seite in Formel 1 für hinreichend kleines, von null verschiedenes h negativ , und man hat sodann
f (xo+h) < f (xo)
f (x) hat in xo ein Maximum.
Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 08:46:   Beitrag drucken

Fortsetzung
Ist aber n ungerade , so wächst h^n / n! , wenn h wachsend durch 0 hindurchgeht
Daher nimmt die rechte Seite in Formel 1 zu oder ab, , je nachdem , ob das Vorzeichen
von f ^ (n) (xo) positiv oder negativ ist. In diesem Falle hat f(x) in xo ganz sicher kein Extremum . Die Kurve y = f(x) hat zwar im Punkt (xo / f (xo) eine zur x-Achse parallele Tangente ; diese Tangente wird aber in diesem Punkt von der Kurve durchsetzt, ist also eine Wendetangente. (es liegt ein Terrrassenpunkt vor).
Es gilt somit der Satz:
Es sei f(x) in einer Umgebung von xo n-mal (n>1) stetig differenzierbar, und es gelte dort
Formel O . Ist dann n gerade , so hat f(x) für x = xo ein Extremum, und zwar ein Maximum,wenn das Vorzeichen von f^(n) (xo ) negativ und ein Minimum, wenn das Vorzeichen von f^(n) (xo) positiv ist.
Ist n ungerade, so hat f(x) für x = xo kein Extremum und f(x) wächst oder fällt beim Durchgang durch xo , je nachdem , ob das Vorzeichen von f ^ (n) (xo) positiv oder negativ ist.
Ende Zitat.
Reichen diese Ausführungen aus ?
Viel Erfolg beim Studium wünscht
H.R.
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reinhard
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 10:41:   Beitrag drucken

Hallo Kätzchen!

Ich habe dir dieses Beweis etwas übersichtlicher zusammengeschrieben. Es ist ein Bild, also wenn du es nicht ganz lesen kannst, weil z.b. das Fenster zu schmal ist, dann klick mit der rechten Maustaste drauf und wähle den Menüpunkt Bild-speichern-unter.. und speichere das Bild auf deine Festplatte. dort kannst du es dir in aller Ruhe und bequem mit jedem Bildbearbeitungsprogramm ansehen:

Beweis
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reinhard
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 10:45:   Beitrag drucken

Hallo Kätzchen!

Es könnte aber auch sein, daß du garnicht so sehr einen streng mathematisch korrekten Satz brauchst, sondern viel mehr eine logisch durchschaubare Begründung oder Erklärung, also hier noch so ein Bild:

begründung

Reinhard
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Kätzchen
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 21:50:   Beitrag drucken

Wau! Toll danke! Also zumindest deine Ausführungen habe ich verstanden...Die beiden Bilder habe ich nicht so ganz kapiert, da brauch ich bestimmt ne halbe stunde um das im Ansatz zu begreifen...(um ehrlcih zu sein, hab ich sie noch nicht komplett gelesen...)Also, es ist ganz toll von dir, dass du das so super beantwortet hast und so verständlich(!!) Jetzt bin ich eine der wenigen in unserem LK die diesen beweis haben und warscheinlich haben ihn noch weniger verstanden.... Also danke nochmal... *ganzbegeistertseiundriesigfreu*

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