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Tim
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 13:12: | 
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Ich habe folgendes Problem:
Es geht um die Analysis einer gebrochenrationalen Funktion. Der Bereich in der Umgebung der Definitionslücke (senkrechte Asymptoten) soll genauer betrachtet werden.
Wann hat man einen Pol mit Vorzeichenwechsel, wann einen ohne Vorzeichenwechsel? Wenn die Nullstelle des Nennerpolynoms ungerade ist, hat man einen Pol mit Vorzeichenwechsel. Umgekehrt hat man einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, wenn die Nullstelle des Nennerpolynoms gerade ist.
(In beiden Fällen vorrausgesetzt x ist nicht gleichzeitig Nullstelle des Zählers)
Was bedeutet "Nullstelle des Nennerpolynoms"?
Beispielsweise habe ich die Funktion
f(x)= 2/(x-1)
Nullstelle des Nennerpolynoms:
(x-1)=0
x=1
Die Nullstelle ist einfach, also habe ich eine Polstelle mit Zeichenwechsel. Verstehe ich das so richtig?
Dann verstehe ich ein anderes Beispiel nicht:
f(x)=2/(x-1)²
Nullstelle des Nennerpolynoms:
(x-1)²=0
x=1
Warum ist 1 hier Pol 2. Ordnung (also kein Vorzeichenwechsel)? Die Nullstelle des Nennerpolynoms ist doch 1, also ungerade.
Ich verstehe nicht wann man einen Pol 1. Ordnung, und wann einen Pol 2. Ordnung hat. Kann mir jemand erklären was es damit aufsich hat?
thx
smokiman |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:00: |
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Hallo Tim!
Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind die Definitionslücken der Funktion.
Ist a die Nullstelle, so ist (x-a) der zugehörige Linearfaktor. Nun kann dieser Linearfaktor mehrmals in einem Polynom enthalten sein: (x-a)k, so heißt a eine k-fache Nullstelle. Ist k jetzt gerade, dann liegt kein VZW vor, ist k jedoch ungerade, dann liegt ein VZW vor.
(x-1)² ist eine doppelte Nullstelle, und somit erhält man einen Pol 2. Ordnung mit keinem VZW.
Gruß Toby |
Andreas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 18:07: |
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Hallo Tim, hallo Toby!
Es kommt auch noch auf die Vielfachheit des zur Definitionslücke gehörenden Linearfaktors im Zähler an. Ist die Vielfachheit im Nenner größer als die im Zähler und die Differenz gerade, so liegt ein Pol ohne Vorzeichen vor; ist sie ungerade so liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor. Ist die Vielfachheit im Nenner aber kleiner oder gleich derjenigen im Zähler, so liegt kein Pol vor.
Gruß Andreas |
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