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pinkpanther
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 10:55: | 
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Die Funktion F:->F(x)=integral über f(t)dt von 0 bis x hat an der Stelle x=5 ein Extremum und an der Stelle x=3 eine Nullstelle. f(t) ist ein ganzrationaler Term von der Form f(t)=at^2+bt+c, der für t=1 den Wert 4/7 annimmt. Bestimme die Formvariablen a, b und c und damit f(t) und F(x)! |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 16:10: |
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Wenn eine Funktion ein Extrem hat, dann muss deren Ableitung eine Nullstelle haben. Nach dem HDI (Hauptsatz der Integralrechnung) ist die Ableitung einer Integralfunktion die Integrandenfunktion, hier f(t). Also hat f(t) bei t=5 eine Nullstelle. Man kann f(t) daher so schreiben: f(t)=a*(t-5)*(t-k), wobei k die zweite noch zu bestimmende NST (Nullstelle) ist.
F(x)=ò0 x(a*(t-5)*(t-k))*dt=a*(x3/3+(-5-k)*x2/2)+5*k*x). Da F(x) bei x=3 eine NST hat, gilt: a*((3)3/3+(-5-k)*(3)2/2)+5*k*(3))=0 ® ... ® k=9/7 (Man kann leicht durch 3*a dividieren, wenn a¹0, und löst nach k auf.)
Also ist f(t)=a*(t-5)*(t-9/7). Man weiß, dass f(1)=4/7; durch Einsetzen und Auflösen: a=1/2
Also ist:
f(t)=1/2*(t-5)*(t-9/7)=1/2*t2+22/7*t+45/14
F(x)=1/6*x3+11/7*x2+45/14*x
a=1/2 b=22/7 c=45/14 |
pinkpanther8888
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 17:01: |
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Dankeschön!!! |
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