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Beitrag |
    
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 901
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 20:03: | 
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ssssss
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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BellyBut (bellybut)
Mitglied
Benutzername: bellybut
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 09:00: |
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Wäre echt super, wenn jemand die Aufgaben lösen könnte! |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 297
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 16:00: |
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Also,
ich gebe dir ein paar Hinweise, da du das ja selbst rechnen willst. Fallst du dann noch fragen hast,melde dich!
1) Schreibe die Ebene in Koordinatenform um, z.B. durch Elimination von Lamda und Mü, oder mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren!
Ergebniss:
E1: x+4y-2z=2
E2: x+2y+2z=6
Abstand S zu E2:
Bilde Hessenormalform von E2, setze S ein, der Wert ist dann der Abstand! (Lösung: Abstand ist 10).
Schnittgerade von E1 und E2:
E1: x+4y-2z=2
E2: x+2y+2z=6
nimm eine dritte gleichung hinzu, z.B. z=t und drücke x und y auch noch durch t aus. dann hast du deine Schnittgerade (eine mögliche Lösung wäre: x = (98/41;22/41;52/41)+t*(-6;2;1)).
Schnittwinkel:
cos a = (n.n')/(|n|*|n'|)
d.h. Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren geteilt durch das produkt ihrer beträge!
c) ist schon eine etwas gehobenere Aufgabe, lösung folgt bei gelegenheit!
mfg |
BellyBut (bellybut)
Mitglied
Benutzername: bellybut
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 16:11: |
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Würde das auch etwas ausführlicher gehen??? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 298
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 18:47: |
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Nun,
ich kann ja nicht die ganze Analytische Geometrie hier rein schreiben. Versuchs doch mal und sag mir dann genau wo deine Probleme liegen, weil soviel Zeit hab ich auch nicht! Besorg dir am besten auch mal ein Programm das Ebenen und Kugeln und son Krams berechnet.
mfg |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 08:12: |
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Die Zwischenschritte wären schon ganz hilfreich! |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 338
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 11:01: |
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Bei welcher Aufgabe den? Ich zeigs gerne ausfürlich, ihr müsst nur sagen, wo genau es hackt! Ich kann ja auch nicht alles haargenau machen, ich kann nur helfen!
mfg |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 11:31: |
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Du hast doch die Lösungen rein geschrieben, also mußt Du doch auch die Zwischenschritte kennen, oder???? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 341
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 12:53: |
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Ok,
ich zeige jetzt ausführlich wie du eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform bringst:
E: (2,-1,-2)+r*(2,0,-1)+s*(2,1,3)
So nun suchen wir einen Vektor der senkrecht zu r und s steht! Wir nennen ihn n (wie Normalenvektor).
Dann muss gelten:
n.r=0 v n.s=0 (n.r ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren)
(2,0,-1)*(n1,n2,n3)=0
(2,1,3)*(n1,n2,n3)=0
Wir erhalten zwei Gleichungssysteme:
2n1-n3=0
2n1+n2+3n3=0
Subtrahieren wir nun die ertse von der zweiten Gleichung erhalten wir:
n2+4n3=0
n2=-4n3
So jetzt setzen wir n3=1, daraus folgt direkt n2=-4. So diese setzen wir nun in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und berechnen dadurch n1=(0,5)
==>n=((0,5),-4,1), diesen formen wir noch um, um die Kommas zu entfernen zu (1,-8,2).
So nun haben wir einen Normalenvektor für unsere Ebene. Jetzt setzen dies einfach in die Koordinatenform ein:
ax+by+cz+d=0 ==>x-8y+2z+d=0
Da setzetn wir jetzt für x,y und z die Koordinaten des Aufpunktes der Ebene ein (2,-1,-2) und erhalten d=-6, so damit haben wir die Ebene in Koordinatenform hergeleitet:
E: x-8y+2z=6 entspricht in Parameterform (2,-1,-2)+r*(2,0,-1)+s*(2,1,3), wie man leicht zeigen kann!
Naja, ich sehe grad das in meinem ersten Beitrag wohl ein Rechenfehler war, da diese Lösung falsch war, die von heute stimmt! E2 stimmt auch, kannst ja selber mal Rechnen.
So die Hessenormalform der Ebene, ist die wo der Normalenvektor den Btrag 1 hat, d.h. man muss die Ganze Gleichung noch durch den Btrag des Normalenvektors Teilen!
Bei E2, ist dies |n|=Ö(1^2+2^2+2^2)=3
==>HNF: |(x+2y+2z-6)/3|=d, da musst du jetzt S einsetzen jeweils die Koordinaten und bekommst sofort den Abstand.
Puh, das erst mal alles klar??
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 324
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 17:51: |
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Hi Ferdi,
kennst du nicht das "Vektorprodukt"?
Gruß N. |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 18:38: |
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SAg bloß, die rechnung ist falsch???!!!! |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 18:38: |
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Sag bloß, die Rechnung ist falsch???!!!! |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 344
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 18:44: |
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Natürlich ist mir das Vektorprodukt bekannt,bei mir läufts unter dem Namen Kreuzprodukt,
mir unterlaufen mit dieser methode nur immer so viele rechenfehler, man siehst ja am ersten beispiel.
und die 40 sec mehr rechnung mit dieser Methode nehm ich für das richtige ergebniss gerene in kauf!
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 326
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 10:20: |
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Hi Ferdi,
das ist eime mögliche Fehlervermeidungsstrategie.
Die andere Möglichkeit ist, das du mir verräts, wo du die Fehler bei der Berechnung des Kreuzproduktes machst, und ich kann dir vielleicht ein Tipp geben, wie du superschnell die Normalenvektoren ausrechnen kannst. Beipsielsweise ist mein LieblingsMethode bei der Vektorproduktberechnung die mit der Determinante.
Ich weiß nicht ob dir die beakannt ist, sonst erklär ich sie dir.
Gruuß N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 327
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 10:34: |
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Hi Ferdi,
bye the way,
ich verstehe deine überlegungen nicht so ganz. Wenn s in E2 eingesetz wird, dann bekommt man den Abstand des Punktes S vom Ursprung heraus. Aber nicht sofort den Abstand S zu E2. Der Abstand S zu E2 ist die Differenz des Abstandes von S zum Ursprung und E2 Ursprung. Ich glaube, das ist bei dir nicht so deutlich geworden.
und, was aufgabe c) betrifft. Wenn man des Kreuzprodukt bemüht geht die berechnung wunderbar einfach! Nur so als Tipp.
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 345
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 11:44: |
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Hm, ich würde c) mit dem, ich glaub es heißt, operativen Verfahren lösen:
Ich nehme den Punkt S und betrachte alle Punkte der Geraden, als Punkt Komponente:
also x=2v , y=0, z=3-v ich nenne Diesen Punkt Q.
Dann bilde ich den Vektor SQ(in Abhämgigkeit von v), und bilde das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Vektor SQ, dies soll 0 ergeben, und berechne hierraus v, und erhalte dann SQ, als Vektor, und der Betrag hiervon ist der Abstand!
Wie machst du es den mit dem Kreuzprodukt?
Naja, mein Problem beim Kreuzprodukt ist das multiplizieren der einzelnen Komponenten. Da hau ich immer klöpse rein. Am meisten Vorzeichen, da konnte ich bis jetzt keine Methode finden, das Abzustellen.
mfg |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 392
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 12:07: |
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Hi Ferdi,
das Kreuzprodukt zweier Vektoren
(a;b;c) und (x;y;z) bekommst folgendermaßen sehr einfach hin (jede Determinante eine Komponente des Vektor/Kreuzproduktes):
(
-1*
)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 328
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 13:06: |
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Hi Ferdi,
zum Thema Abstand und Kreuzprodukt.
Walter hat es schon mit der Determinante angesprochen. ist dir der Laplacesche Entwicklungssatz ein Begriff.
Gruß
N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 347
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 13:43: |
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Hm ,nein der sagte mir bis jetzt nichts,
aber meine schlaues Buch sagt mir,
das es um die Berechung einer Determinante geht.
D=ak1Ak1+ak2Ak2...aknAkn
Akj ist die Adjunkte zum Element akj. Werd mir das mal anschauen. Scheint tatsächlich einges zu vereinfachen. Verstehe gar nicht, das sowas in der Schule nicht erwähnt wird.
Vielen Dank auch für dein Lösungsvorschlag, wie immer in der Mathematik gibt es zwei Möglichkeiten der Lösung für eine Aufgabe! Naja...
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 14:05: |
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Hi Ferdi,
lass dich nicht von solchen Begriffen wie "Adjunkte" verwirren. Es geht bei dem Laplacschen Entwicklungssatz in der Tat um die Berechnung von Determinanten n-ter Ordnung.
Die Grundidee ist einfach:
Nan versucht die Determinante in viele Kleine "Unterdeterminanten" zu zerlegen, derern Berechnung im einzelnen viel einfacher ist.
Um eine Determinante höherer Ordnung zu berechnen "entwickelt" man eine Determinante nach entweder einer Zeile oder einer Spalte.
Was hat das mit den Kreuzprodukt zu tun?
Ganz einfach:
Wir bilden um das Kruezprodukt zu berechnen eine Dreireihige Determinante, die wir nach einer gewissen Spalte entwickeln und so die Komponenten z. B. eines Normalenvektor zu find
soviel zur Theorie.
Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 349
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 14:11: |
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Och,
verwirren lass ich mich meistens nicht mehr. Bei solchen Sachen hab ich ne gute Sache drauf:
Erst immer an einem konkreten Beipspiel alles klar machen und verstehen und dann aufs allgemeine Übetragen! Das klappt ganz gut!
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 330
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 17:45: |
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Hi Ferdi,
schau dir vollgendes an:
Falls noch Unklarheiten da sind, versuche ich sie gerne zu beseitigen.
Gruß N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 331
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 17:48: |
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Hi Ferdi,
schau dir vollgendes an:
Falls noch Unklarheiten da sind, versuche ich sie gerne zu beseitigen.
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 350
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 19:06: |
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Danke Niels,
jetzt werde ich auch mal öfter mal auf das Kreuzprodukt zurückgreifen. Ich hab das nämlich bisher nie als Dterminate berechnet sondern einfach immer in die Formel aus meiner Formelsammlung eingesetzt! Naja, obwohl ich auch hier nicht vor Rechnefehlern geschützt bin ;-)
mfg |
