    
Kiki (kiki3000)
Mitglied
Benutzername: kiki3000
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 12:31: | 
|
kann mir mal wer bei folgender aufgabe helfen:
vom punkt P(0/-1) sind die Tangenten an den Graphen der Funktion f mit
f(x)=x² gezeichnet. Berechhne den flächeninhalt der Fläche, die die Tangenten
und der Graph einschließt. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1959
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 17:18: |
|
Hi Kiki,
Wir suchen den Berührungspunkt B (u/v) der Tangente,
die durch den Punkt P(0/-1) geht.
Wir berechnen die Steigung m dieser Tangente.
Es ist m = y´ (u) = 2 u, da für die Ableitung
y´ (x) = 2 x gilt.
Andrerseits ist m = (yB - yP) / ( xB – x P ) = ( v +1 ) / u
Somit ist 2 u^2 = v + 1 ; da B auf der Parabel liegt,
gilt v = u^2.
Aus alledem folgt v = 1 und u = 1.
Der Berührungspunkt ist der Punkt B(1/1).
Wer die Parabeln näher kennt, hätte dies auch
ohne Rechnung, sozusagen aus dem Stand heraus,
sagen können.
Wir berechnen damit m = 2, und die Gleichung
der Tangente ist y = 2 x – 1.
Um die gesuchte Fläche zu ermitteln, beachten wir die
achsiale Symmetrie bezüglich der y-Achse und setzen an:
A = 2 * int [ x^2 – (2 x – 1 ) ] dx ,
untere Grenze des Integrals 0 obere Grenze 1.
Das Resultat ist A = 2/3.
Für Kenner:
Das Resultat kann als Differenz einer Dreiecksfläche
Delta und eines Parabelsegments Sigma so bestätigt
werden
Delta = ½ * 2 * 2 = 2 (Höhe des Dreiecks: 2)
Sigma = 2/3 * 2 * 1 = 4/3 (Höhe des Segments :1)
A = Delta – Sigma = 2 – 4/3 = 2/3
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
