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Chris (loop23)
Junior Mitglied
Benutzername: loop23
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 18:33: | 
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Hallo, trau mich fast nicht zu fragen, habe aber folgendes Problem: Habe 3 Punkte im R3
A(2/-1/4); B(-4/1/-3) und C(3/-4/-6)
a) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC (gut das check ich noch, komm dabei auf 40,08 LE^2)
(aber jetzt!!)
b) Berechnen Sie die Höhe hb des Dreiecks
Habe das schon so lange nicht mehr gemacht, dass ich hier keinen Ansatz finde (vielleicht hab ichs auch
noch nie gemacht), wäre toll, wenn mir hier jemand helfen könnte
Danke
Chris |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1956
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 19:57: |
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HiChris,
Der Näherungswert für die Fläche F ist richtig
Es gilt F = ½ wurzel(6426)
b) Die Seite b des Dreiecks ist gleich dem Betrag des
Vektors AC, also:
b = wurzel(110)
Für die Höhe hb gilt:
hb = 2 * F / b = wurzel (3213/55) ~7,64
********************************
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Chris (loop23)
Junior Mitglied
Benutzername: loop23
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 20:02: |
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Super, Vielen Dank für die schnelle Antwort
diese Formel kenn ich gar nicht, wie kommt die zustande??
Christoph |
Steve JK (f2k)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 22:58: |
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hallo chris!
megamath hat einfach die fläche verdoppelt, um auf ein viereck zu kommen und hat dann durch die seitenlänge AC geteilt!!
du kannst aber auch, wenn du die fläche nicht hast, die höhe "zu fuss" mittels lotfußpunkt-verfahren ausrechnen:
hierzu stellst du die hessesche ebenenform auf mit dem vektor(ac) als normalvektor und punkt B als stützvektor:
E: [x - (-4/1/-3)]*(-1/3/10)
wenn du für x nun die gerade durch A und C einsetzt, bekommst du für den parameter
r = 58/110.
wenn du diesen in die gleichung durch A und C einsetzt, bekommst du den gesuchten lotfußpunkt. nun musst du nur noch den abstand zwischen diesem punkt P(2,527/-2,582/-1,272) und punkt B berechnen und kommst ebenfalls auf 7,64.
dieses verfahren dauert aber wesentlich länger!!
mfg
kipping |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1957
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 08:54: |
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Hi Chris, Hi Steve
Wir halten miteinander ein kleines Symposion
zum Thema
„Höhe im Dreieck, vektoriell“ ab,
ein Junior Mitglied, ein Fortgeschrittenes Mitglied
und ein Senior Mitglied.
Als Seniormitglied nehme ich mir die Freiheit heraus,
auf das Folgende aufmerksam zu machen.
Der Aufgabensteller hat die Aufgabe so konzipiert,
dass die Höhe hb via Flächeninhalt F des Dreiecks
gewonnen wird, ansonsten hätte er nicht zuerst nach
der Fläche gefragt.
Steve verwendet die Hessesche Normalform,
mit Erfolg ! Bravo !
Die HNF sollte aber grundsätzlich nur für die Berechnung
der Abstände eines Punktes von einer Ebene eingesetzt
werden.
Für die Berechnung des Abstandes eines Punktes von
einer Geraden, und darum geht es bei dieser Aufgabe,
wird für die Diretissima konsequent von einer andern
Formel Gebrauch gemacht.
Ich führe das am Beispiel aus.
Wir benötigen dazu zwei Vektoren r und v
(die Pfeile lasse ich weg):
r ist ein Richtungsvektor der Geraden g = AC,
wir wählen
r = AC ={ 1 ; - 3 ; - 10 }
v ist der Verbindungsvektor der Punkte A und B ,
also
v = AB = { - 6 ; 2 ; - 7 };
dabei ist A ein Punkt auf g ; von B aus ist der
gesuchte Abstand d bis g zu ermitteln.
Es ist nach einer bekannten Formel
d = m / n;
dabei ist m der Absolutbetrag des
Vektorprodukts v x r und n ist der Betrag
des Vektors r.
Eine kurze Rechung gibt:
m = wurzel (41^2 +67^2 +16 ^2) = wurzel (6426)
n = wurzel (110)
also d = wurzel [6426/110] = wurzel [3213/55]
wie beim ersten Mal !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 11:50: |
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hallo megamath!
ich wollte mich auch gar nicht mit dir anlegen!
deine methode ist mir allerdings ganz neu. in meinem mathebuch ist über diese leider nicht zu finden, schade! aber so hab ich über diesen kleinen "konflikt" etwas neues dazugelernt...
hab mir auch nur gedacht, dem chris einen weg zu zeigen, ohne über die fläche den abstand von punkt/gerade zu berechnen, wie ich es gelernt hab.
mfg
kipping |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1958
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 12:07: |
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Hi Steve,
das war von mir auch nicht böse gemeint, nicht einmal belehrend, wie es bei Seniormitgliedern leicht passieren könnte.
Ich wollte nur zeigen,wie man vektoriell den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnet.
In der Literatur solltest Du diese Methode finden können,vielleicht bei den Anwendungen im Anschluss an das Thema "Vektorprodukt".
Alles roger,alles o.k. !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 12:52: |
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Hi, ich hab auch noch ne Methode, die ohne HNF auskommt und das selbe Ergebniss liefert!
Ich skizziere kurz meine Idee:
Ich nehme die Gerade AC vect[x]=(2,-1,4)+r*(1,-3,-10)! So nun lässt sich jeder Punkt dieser Geraden darstellen als:
x=(2+r) ; y=(-1-3r) ; z=(4-10r)
Nun wir suchen nun den Punkt D auf der Geraden, der Lotfußpunkt für B ist, d.h. der Vektor BD muss senkrecht auf dem Richtungevektor der Geraden stehen!
D=((2+r),(-1-3r),(4-10r)) B=(-4,1,-3)
Bilden wir nun BD erhalten wir:
BD=((6+r),(-2-3r),(7-10r))
so dieser vektor soll senkrecht auf der Geraden stehen, dazu benutzen wir das Skalar Produkt! Denn es muss gelten BD.AC=0
((6+r),(-2-3r),(7-10r)).(1,-3,-10)=0
liefert nach kurzer rechnung:
r=58/110.
Dann gehts normal weiter. Ist vielleicht umständlich die Methode, aber ich wollts nur mal so kundtun!
mfg |
Steve JK (f2k)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 15:02: |
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dann bin ich ja beruhigt!!
dann werde ich mir anderswo noch anschaun, was man mit dem vektorprodukt noch alles lustiges noch anstellen kann...
mfg
kipping |
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