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M (hhm)
Neues Mitglied
Benutzername: hhm
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 13:54: | 
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Wie kann man drei Ebenen durch den Ursprung bestimmen, die von einem Punkt
R (3 -1 7) den Abstand 5 haben?
Die Abstandsformel lautet ja:
d (Abstand) = Betrag von (r-p)n0 , wobei ich hier die Vektorpfeile über r, p und
n0 (-> Normaleneinheitsvektor) natürlich nicht darstellen konnte. d ist also = 5 und zusätzlich haben wir noch R gegeben wie muss man hier vorgehen?
Und wie muss man vorgehen, wenn man zwei Punkte gegeben hat
[ A(2 3 4) & B(6 5 16) ] und die Ebene, die man bestimmen soll vom Ursprung den Abstand 2 hat?
Muss man da in beiden Fällen mit dem gegebenen Abstand und der entsprechenden Formel irgendwie rechnen, wer kann mir da helfen? |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1949
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 23:33: |
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Hi M(hhm),
Es folgt eine Lösung der ersten Teilaufgabe.
Ich zeige Dir, wie man auf eine sehr elegante
Weise zwei Ebenen der verlangten Art auf
einen Schlag finden kann.
Es ist mir bis jetzt noch nicht gelungen, sieben
solche Ebenen auf einen Schlag zu bestimmen.
Wir reduzieren das räumliche Problem,
das darin besteht, eine Tangentialebene der
Kugel ku mit R als Mittelpunkt und dem Radius
r = 5 zu bestimmen, welche durch den Nullpunkt geht,
auf ein ebenes Problem, das wir in der (y,z)-Ebene
lösen können.
Die fragliche Tangentialebene soll senkrecht zur
(y,z)-Ebene stehen; ihre Spur e in dieser
Koordinaten – Ebene geht durch O und berührt
den Umrisskreis u der Kugel ku.
Dieser Kreis u hat den aus M durch Projektion
auf die (y,z)-Ebene hervorgehenden Mittelpunkt
mm(-1/7) und ebenfalls den Radius r = 5
Wir setzen für die Gerade e die Gleichung
in der Form z = m y an und arbeiten entweder
mit der Diskriminantenmethode, oder wir setzen die
Abstandsformel von Hesse ein.
Ich wähle die letztere Methode.
Die Normalform (!) von e lautet:
(z – my ) / wurzel (1 + m^2 ) = 0
Setzen wir hier für y und z die Koordinaten von mm
ein, so stimmt die linke Seite der HNF mit dem Abstand
d der Geraden e von mm überein.
Dieser Abstand ist entweder 5 oder -5.
Quadriert man die entstehende Gleichung und
schlichtet so stark wie möglich, so erhält man die
quadratische Gleichung in m :
12 m^2 – 7 m – 12 = 0 mit den Lösungen
m1 = 4/3 und m2 = - ¾ , sodass die Gleichungen
der so ermittelten (projiziernden) Ebenen lauten:
z = 4/3 y oder 4 y – 3 z = 0
**********************
oder
z = - ¾ y oder 3 y + 4 z = 0
**********************
Dies Ebene stehen übrigens aufeinander senkrecht.
Das sollte im Sinne einer Anregung für den Moment
genügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1950
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 14:39: |
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Hi M(hhm),
Bei der zweiten Teilaufgabe ist die gesuchte Ebene
eine Tangentialebene T (tau) der Kugel
x^2 + y^2 + z^2 = 4 (Mittelpunkt in O ,Radius r = 2).
T hat die allgemeine Gleichung
x1 x + y1 y + z1 z = 4 ;
x1,y1,z1 sind die Koordinaten des Berührungspunktes
P1 auf der Kugel.
Wir schreiben drei Gleichungen für die Unbekannten
x1,y1,z1 auf:
P1 liegt auf der Kugel, daher gilt
x1^2 + y1^2 + z1^2 = 4…………………………………(1)
A liegt auf T:
2 x1 + 3 y1 + 4 z1 = 4 …………………………………..(2)
B liegt auf T:
6 x1 + 5 y1 + 16 z1 = 4 ………………………………….(3)
Aus (2) und (3) berechnen wir x1 und y1,
je ausgedrückt durch z1;
Resultat:
y1 = z1 + 2
x1 = -7/2 z1 - 1
Dies setzen wir in (1) ein. Wir erhalten eine
quadratische Gleichung für z1
57 z1^2 + 44 z1 + 4 = 0 mit den Lösungen
-2/19 und -2/3 für z1.
Wir nehmen die beiden Fälle auseinander:
A]
z1 = - 2/19 liefert x1 = - 12 / 19, y1 = 36 / 19
Damit entsteht als Gleichung für T:
- 6 x + 18 y – z = 38
****************
B]
z1 = -2/3 liefert x1 = 4/3, y1= 4/3
Damit entsteht als Gleichung für T:
2 x + 2 y – z = 6
*************
Es gibt noch einige andere Lösungsmethoden,
unter denen diejenige hervorsticht, bei welcher der
Begriff des Ebenenbüschels zum Einsatz kommt.
Ich verzichte auf diese Methode, um niemand
kopfscheu zu machen (hihi).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 18:08: |
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Hallo H.R.,
falls du mal kurz die Zeit hast, kannst du ja meine Frage mal beantworten!
ich interesiere mich sehr für Analytishce Geometrie, da an unserer Schule der Schwerpunkt aber auf Stochastik gesetzt wird, versuche ich es so peu-a-peu selbst zu verstehen!
Nun meine Frage:
Bei deinem letzten Posting in diesem Thread beschreibst du die Möglichkeit des Ebenenbüschels. Ich habe mir nun dazu meine Gedanke gemacht.
Da alle Ebenen durch die zwei Punkte laufen sollen, wäre die Gerade g durch diese beiden Punkte ja die Büschelachse. Aber wie bringe ich nun den Abstand mit darein? Ich ab schon alles probiert. Mit HNF oder versucht mit der Gerade
g: vect[x]=(2,3,4)+t*(2,1,6) und einem unbekanntem Vektor R (r1,r2,r3) über das Vektorprodukt einen Normalenvektor für diese Ebenen zu bestimmen, aber alles Schlug fehl!
Könntest du vielleicht wenn du Zeit findest mal kurz erkären, wie man diese Aufgabe dann mit Hilfe eines Ebenenbüschels lösen kann?
Vielen Dank im Vorraus! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1951
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 21:37: |
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Hi Ferdi
Motto:
Tangentialebenen an Kugeln haben es in sich,
besonders diejenigen, die durch eine vorgegeben
Gerade gehen.
Gerne zeige ich Dir, wie man die zweite Teilaufgabe
mit der Methode des Ebenenbüschels lösen kann
Da Du Dich in diese Materie offensichtlich schon
eingearbeitet hast, kann ich mich kurz fassen.
Die Sorge ist nur die, ob wir wohl dasselbe
Schlussresultat erhalten werden.
Wir stellen eine Parametergleichung der Geraden
g = AB auf; Resultat:
x = 2 + 2 t, y = 3 + t , z = 4 + 6 t .
Aus den ersten beiden Gleichungen eliminieren wir t
und erhalten in der Gleichung
x - 2 y + 4 = 0 eine Ebene E1, die senkrecht zur
(x,y)-Ebene steht und die Gerade g enthält.
Aus de ersten und dritten Gleichung eliminieren wir t
und erhalten in der Gleichung
3 x – z - 2 = 0 eine Ebene E2, die senkrecht zur
(x,z) -Ebene steht und die Gerade g enthält.
Die Ebenen E1 und E2, die beide durch g gehen, verwenden
wir als Grundebenen eines Ebenenbüschels mit g als Achse.
Mit m als Parameter schreiben wir die Gleichung
Einer beliebigen Ebene E(m) Büschels so:
x - 2 y + 4 + m ( 3 x – z - 2 ) = 0, geordnet
(1+3 m) x – 2 y – m z + 4 – 2 m = 0 ; diese Gleichung
bringen wir in die Hessesche Normalform,
indem wir beide Seiten durch
H = wurzel [ (1+3 m) ^ 2 + 4 + m^2] =
wurzel (10 m^2 +6 m + 5) dividieren. Die HNF lautet:
[(1+3 m) x –2 y –m z +4 –2 m] / H = 0.
Setzt man auf der linken Seite für x,y,z die Koordinaten
des Nullpunktes, also x = y = z = 0 ein, so erhält man den
Abstand des Nullpunktes von der Ebene E(m) des
Büschels.
Da dieser Abstand den Betrag 2 haben soll, entsteht
durch Quadrieren die folgende Gleichung für m:
(4 – 2 m ) ^ 2 = 4* (10 m^2 + 6 m + 5) oder
9 m ^2 + 10 m + 1 = 0
Die Lösungen sind: m1 = - 1/9 und m2 = - 1.
Setzt man diese Parameterwerte in die Büschelgleichung
ein, so erhält man die gesuchten Gleichungen
der Tangentialebenen der Kugel und damit Ebene
der verlangten Art
m1 = - 1/9 liefert: 6 x – 18 y + z + 38 = 0
m2 = - 1 liefert: - 2 x – 2 y + z + 6 = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 13:04: |
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Danke,
also ich hab mich zwar schon eingearbeitet, aber aus der Geraden Gleichung zwei Ebenen Gleichungen zu Gewinnen, war mir neu. Naja, ansonsten ist der Rest dann klar! Vielen Dank nochmal!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1954
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 16:12: |
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Hi allerseits,
Motto: Orgelspiel
Wir wollen alle Register ziehen
und eine weitere Methode einsetzen,
um diese Aufgabe zu lösen.
Vorspann
Bisher kamen die folgenden Methoden
und Begriffe zum Zug:
Projektion auf eine Koordinatenebene,
Abstandsformel von Hesse,
Polarisation einer Kugelgleichung,
Ebenenbüschel.
Das sind Gebiete, in denen sich die wenigsten
Anwender der Analytischen Geometrie
wirklich zurechtfinden.
Es könnte heilsam und nützlich sein,
den Einsatz dieser Mittel an einer konkreten
Aufgabe, der Ermittlung der Tangentialebene
an eine Kugel durch eine vorgegebene Gerade,
etwas zu üben.
Dies ist in den vorausgehenden Beiträgen geschehen.
Im folgenden und letzten Beitrag zu dieser Sache
möchte ich zeigen, dass zur Lösung der Aufgabe
sogar der Begriff der Polarebene zu eine Punkt F
als Pol bezüglich der gegebenen Kugel einen
entscheidenden Beitrag liefert.
Das geht so:
Zur Geraden g = AB legen wir die Normalebene PHI
Durch den Mittelpunkt O der Kugel vom Radius r = 2.
Gleichung von PHI:
2 x + y + 6 z = 0…………………………………………(1)
Schnittpunkt F von g mit PHI:
xF = 20 / 41 , yF = 92 / 41, zF = - 22 / 41
Kugelgleichung
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ……………………………… (2)
Polarengleichung dazu (polarisieren):
x1 x + y1 y + z1 z = 4
Das ist die Gleichung der Polarebene mit P1 als
zugehörigem Pol.
Gute Idee: Verwendung von F als Pol !
Setze die Koordinaten von F, die vorhin berechnet
wurden, an Stelle von x1,y1,z1 ein; wir erhalten als
Gleichung der Polarebene:
10 x + 46 y – 11 z = 82………………………………..(3)
Die gesuchten Berührpunkte P1,P2 der Tangentialebenen
T1 und T2 findet man, wenn man das System der
Gleichungen (1),(2),(3) nach x ,y ,z auflöst.
Resultat:
P1: Koordinaten x = -12 / 19 , y = 36 / 19 , z = - 2 / 19
P2: Koordinaten x = 4/3 , y = 4/3 , z = - 2/3
Dasselbe Resultat wie bei der ersten Methode.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 272
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 16:31: |
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Ich weiß nich mehr was ich noch sagen soll, H.R. was du drauf hast übertrifft ja alles. Da kann man richtig was bei lernen! Danke!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1955
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 16:43: |
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Hi Ferdi,
Danke für das Kompliment !
Es ist mir ein grosses Anliegen,dass
künftige Studenten mit den Grundlagen
völlig vertraut sind.
Die Grauzone des Uebergangs von der
Mittelschule zur Hochschule ist dabei
meines Erachtens von besonderer Wichtigkeit.
Viel Erfolg bei frohem Tun auf allen
Gebieten der Mathematik wünscht
H.R.Moser,megamath |
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