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Tanja (justsmiles)
Neues Mitglied
Benutzername: justsmiles
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 13:11: | 
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Hi!
Kann mir jemand von euch erklären, wie ich Normalenformen(ANF, PNF, HNF) von Geraden aufstelle? Bis jetzt wusste ich nur, dass es so was wie z.B. die HNF bei Ebenen gibt. Ich hab aber keine Ahnung, wie das bei Geraden funktionieren soll. Könnt ihr mir wohl anhand eines Beispiels erklären, wie ich eine "normale" Geradengleichung in ANF, PNF und HNF umwandel?
Vielen lieben Dank schon mal im Voraus!! |
Steve JK (f2k)
Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 13:22: |
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würde mich ma auch interessieren,
weisst du denn, was ANF, PNF und HNF bedeuten??
ich könnte mir nur vorstellen, dass man den richtungsvektor normiert!?
denn...
geraden als ebenen darzustellen würde nicht lohnen, dann könnte man diese als schnitt zweier ebenen sehen...
mfg
kipping |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 13:38: |
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Ein kleiner Hinweis:
Normalenform von einer Geraden kann man NUR im R² darstellen! Im R³ ist dies nicht möglich. Ich hab damals eine Klausur darüber geschrieben. Dies liegt daran das eine Gerade im raum nicht mehr eindeutig durch ihren Normalenvektor bestimmt ist, da man ihn um die Gerade herum drehen kann, ohne das er seine Eigenschaft als Normalenvektor verliert. Will man eine Gerade im R³ durch Normalenform darstellen ist dies stehts eine Ebene! Im R³ kann man eine Gerade nur in Parameterform darstellen!
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 286
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 17:13: |
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Hallo zusammen,
ANF...Allgemeine Normalen Form
HNF....hessische Normalenform
Mit der PNF kann ich nichts Anfangen, ich könnte mir vorstellen das eine Punktnormalenform gemeint ist, die es so in der Form nicht gibt. Es gibt nur eine Punktrichtungsform.
ANF:
ax+by+c=0
Für die HNF gibt es zwei Darstellungsformen.
einmal eine der ANF entsprechent und eine mit sinus und Cosinus....
Gruß N. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 348
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 00:59: |
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Die Hessesche Normalform einer Geraden in R2 erhält man, wenn man die Normalform der Geraden durch den Betrag des Normalvektors dividiert. Sie ist dann identisch mit der normierten Normalvektorform der Geraden.
N.X = c | :|N| [N .. Normalvektor; c .. Konstante]
No.X = co [No = N/|N|; co = C/|N|]
Eine Anwendung der HNF findet sich bei der Bestimmung des Normalabstandes eines Punktes von der Geraden:
P .. Ortsvektor zum Punkt P
r .. Abstand P;g
r erhält man, wenn man in die auf 0 gebrachte HNF statt der laufenden Koordinaten X(x, y) die von P einsetzt (bei negativem Ergebnis nimmt man den Betrag):
No.X - co = 0
r = P.No - co
Beispiel:
7x - 24y = 122
P(10|2)
N = (7;24), |N| = 25
(7x - 24y - 122)/25 = 0
(70 - 48 - 122)/25 = d
r = -4 .. orientierter Abstand
r(absolut) = 4 LE
Übrigens gibt das Vorzeichen darüber Auskunft, ob P und der Ursprung auf derselben oder auf verschiedenen Seite(n) der Geraden liegen! Setzt man nämlich statt P den Ursprung O ein, so hat jener den orientierten Abstand ro = -122/25, also liegt das gleiche Vorzeichen wie bei d vor. Somit liegen P und O auf derselben Seite der Geraden.
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Eine weniger verwendete, aber interessante und effiziente Form der Geradengleichung ist die HNF mit Winkelfunktionen. Dazu setzt man zunächst die Gerade in der Abschnittsform an:
x/c + y/d = 1 (c, d Abschnitte auf der x- bzw. y-Achse)
Der Normalabstand des Ursprunges von der Geraden sei po, der mit der positiven x-Achse den Winkel phi einschließt. In den beiden von po und den Achsenabschnitten gebildeten rechtwinkeligen Dreiecken gelten dann die Defintionen der Winkelfunktionen:
sin(phi) = ro/c, cos(phi) = ro/d
c = ro/sin(phi), d = ro/cos(phi)
wieder in die Abschnittsform einsetzen ->
x*cos(phi) + y*sin(phi) - ro = 0
Auch diese Beziehung wird mit Hesse'sche Normalform bezeichnet.
Hier kommt dem Vorzeichen von ro - wie auch später dem des Abstandes r - bereits eine eminente Bedeutung zu, man darf es nicht mehr einfach weglassen!
cos(phi) = Ao, sin(phi) = Bo, -ro = C0
Auf Grund der Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen ist Ao² + Bo² = 1
Um nun von der Form Ax + By + C = 0 auf die o.a. HNF zu gelangen, muss man die Geradengleichung durch eine Zahl q so dividieren, dass dann A²/q² + B²/q² = 1 wird.
-> q = sqrt(A² + B²)
Die HNF kann nun folgendermaßen angeschrieben werden:
A/sqrt(A² + B²) + B/sqrt(A² + B²) + C/sqrt(A² + B²) = 0
Es ist zu erkennen, dass immer gilt:
ro = -Co = -C/sqrt(A²+B²).
Wenn man durch geeignete Erweiterung der Gleichung dafür Sorge trägt, dass in der HNF das letzte (absolute) Glied immer negativ ist, bezeichnen die Vorzeichen des x- bzw. y-Gliedes als cos- bzw- sin-Funktion den Quadranten, in dem der Winkel phi liegt.
Das Vorzeichen des y-Gliedes als Sinus-Wert gibt an, ob der Abstand po nach oben (Vorzeichen positiv, Winkel phi zwischen 0 und pi) oder nach unten gerichtet ist (Vorzeichen negativ, phi zwischen pi und 2*pi)
Zum Abstand r eines beliebigen Punktes P(x1/y1) von g ist es nun nur noch ein kurzer Weg:
Für die durch P gezogene Parallele zu g gelten dieselben Voraussetzungen hinsichtlich der HNF wie bei g, der einzige Unterschied liegt bei deren Abstand vom Ursprung, er sei r1. Für diese Parallele gilt zunächst, dass die Koordinaten von P diese erfüllen müssen:
Ax1 + By1 + C = 0
-C = Ax1 + By1
Ax + By - (Ax1 + Bx1) = 0
-> r1 = (Ax1 + Bx1)/sqrt(A² + B²)
Der gesuchte Abstand ist nun
r = r1 - r0
r = (Ax1 + Bx1)/sqrt(A² + B²) - (-C/sqrt(A² + B²))
r = (Ax1 + Bx1 + C)/sqrt(A² + B²)
Wir sehen also, dass der Abstand genauso zu ermitteln ist, wie vorhin in der Normalvektorform.
Das Vorzeichen von r gibt aber hier den Sachverhalt noch genauer wieder:
r > 0: P und O liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden
r < 0: P und O liegen auf der gleichen Seite der Geraden
Gehen wir zur Illustration wieder vom vorigen Beispiel aus:
7x - 24y = 122 bzw.
7x - 24y - 122 = 0 |:25
(7/25)*x - (24/25)*y - 122/25 = 0
-> po = 122/25, nach unten gerichtet, weil die Koeffizienten einen Winkel im 4. Quadranten ergeben.
Abstand r des Punktes P(10|2) von g:
r = (7*10 - 24*2 - 122)/25 = -4
-> P und O liegen auf der gleichen Seite der Geraden
Durch eine Skizze ist dieses Ergebnis auch zu erhärten.
Gr
mYthos
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 262
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 15:47: |
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Hi mythos,
herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort! Besser hätte ich es auch nicht machen können! Das hab ich mr gleich ausgedruckt für meine Unterlagen!
mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 349
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 20:52: |
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Hi,
es freut mich, dass Du meine Ausführungen für dich gut gebrauchen kannst. Wie du am Datum siehst, habe ich das sehr spät (oder früh, wie man's nimmt) geschrieben. Vielleicht kannst du noch 4 Tippfehler ausbessern: 4x bitte statt po: gehört ro geschrieben.
Es ist zwar üblich, den Normalabstand des Ursprunges von der Geraden mit po zu bezeichnen (deswegen entstanden die Tippfehler, denn ich hatte ursprünglich diese Bezeichnung beibehalten), wollte dann aber lieber ro nehmen, um ev. Verwechslungen mit dem Punkt P zu vermeiden.
Auch die Bezeichnung d für den Abstand eines Punktes wird oft verwendet, diesen habe ich ebenso wegen Verwechslungsgefahr mit dem Achsenabschnitt (d) lieber mit r benannt.
Gr
mYthos
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