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Nina (nina3310)
Mitglied
Benutzername: nina3310
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 13:07: | 
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Hallo,
ich muss ein Referat über das Verfahren der vollständigen Induktion halten. Theoretisch scheint es ja nicht sooo schwer zu sein, aber an den Anwendungsaufgaben scheitere ich dann schon wieder. Naja, aber was ich eigentlich fragen wollte:
In meinem Buch gibt es ein Beispiel, bei dem man beweisen soll, dass 5 ein Teiler von 6^n+4 ist. Denn Induktionsanfang verstehe ich noch. Dann steht da:
"Zu beweisen ist: Wenn 5 ein Teiler von 6^k+4 ist, dann ist 5 auch ein Teiler von 6^(k+1)+4.
5 sei ein Teiler von 6^k+4 (Induktionsannahme)."
Ich versteh irgendwie nicht so recht, warum ich das einfach annehmen kann? Und noch eine Frage: Worin besteht denn der Unterschied zwischen n und k? Also wieso benennt man das unterschiedlich?
Und das ist jetzt eine wahrscheinlich sehr dumme Frage, aber was ist die mathematische Begründung dafür, dass 5 ein Teiler von 5*6^k+(6^k+4) ist? Also, dass es ein Teiler von 5*6^k ist, verstehe ich. Dass es ein Teiler von 6^k+4 ist, verstehe ich schon nicht mehr so ganz, denn das hatten wir ja nur angenommen, aber nicht bewiesen...? Und jetzt: Wie heißt das Gesetz, dass mir sagt, dass wenn beide Summanden durch 5 teilbar sind, auch die Summe durch 5 teilbar ist?
Wäre sehr, sehr nett, wenn mir da jemand noch etwas Klarheit verschaffen könnte!
Vielen Dank!
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 737
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 14:12: |
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Hi!
Jetzt mal der Reihe nach:
Zwischen k und n gibt es absolut keinen Unterschied!
Die Induktionsannahme nennt man auch Induktionsvoraussetzung (IV). Das heißt, man setzt dies für den Induktionsschritt voraus.
Und warum darf man das?
Nun, man hat ja den Induktionsanfang bewiesen. Hier wäre die IV für den Nachfolger erfüllt und der Induktionsschritt würde die Richtigkeit der Aussage für den Nachfolger zeigen. Wenn man nun die Aussage für den n-ten Nachfolger zeigen möchte, dann muss man das oben genannte n-mal machen.
Da dieser Kettenschluss immer gilt, kann man die ganzen Zwischenschritte überspringen, wenn man eben zeigen kann, dass man von einer Zahl auf ihren Nachfolger schließen kann.
Und dazu muss man eben annehmen, dass die Aussage bereits für k bewiesen ist und dann versucht man die Aussage für k+1 auf die Aussage für k zurückzuführen.
Dann das Problem mit der Teilbarkeit durch 5:
6k+4 ist bereits nach der Induktionsvoraussetzung durch 5 teilbar, denn genau das setzen wir doch für den Induktionsschritt voraus!
Wie das Gesetz heißt, weiß ich nicht, aber zeig es doch selbst:
Wenn die beiden Summanden a und b durch 5 teilbar sind, dann gibt es zwei natürliche Zahlen m und n, so dass gilt:
a = 5m und b = 5n
Also erhält man:
a+b = 5m + 5n = 5(m+n)
Somit ist a+b auch durch 5 teilbar.
Ich hoffe, ich habe dir etwas Klarheit verschaffen können.
Übrigens kannst du dich ja mal über die Peano-Axiome schlau machen, wenn du das noch nicht getan hast. Die bilden die Grundlage für den Induktionsbeweis.
MfG
Martin |
Nina (nina3310)
Mitglied
Benutzername: nina3310
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 15:29: |
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Hi Martin,
vielen, vielen lieben Dank! Das hat mir echt sehr weitergeholfen!!! Jetzt versteh ich glaub ich alles so, dass es reichen sollte ;-). Von Peano-Axiomen war noch nirgendwo die Rede, aber ich werd jetzt mal nachforschen. Also, noch mal ein großes Dankeschön!!!
Nina |
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