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M (hhm)
Neues Mitglied
Benutzername: hhm
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 20:25: | 
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Man hat eine dreiseitge Pyramide (Grundfläche Punkte A,B,C, Pyramidenspitze Punkt D), alle Punkte sind gegeben.
Wie kann man die Normalenform einer Ebene E1, die schräg in dieser Pyrmide liegt, durch die Punkte A,C geht und orthogonal zu einer Ebene E2 ist, die wiederum durch durch B,C,D geht (also sozusagen einen Teil einer Wandfläche der Pyramide bildet) bestimmen?
Ich kann mir zwar denken, dass das irgendwie mit den Normalenvektoren der beiden Ebenen gehen muss, aber da man von der einen Ebene nur zwei Punkte hat, bin ich ratlos!
Wer kann mir weiterhelfen? |
Freddy Schäfer (freddy123)
Junior Mitglied
Benutzername: freddy123
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 20:57: |
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Also, E1 soll durch A und C gehen und weiterhin zu E2 orthogonal sein. Ich würde es wie folgt anpacken:
Puzzlen wir uns die Parameterdarstellung von E1 zusammen: Man nehme den Differenzvektor von A-Vektor und C-Vektor als 1. Richtungsvektor, den Normalenvektor von E2 als 2. Richtungsvektor und wahlweise A-Vektor oder C-Vektor als Stützvektor/Ortsvektor von E1.
Die neue Ebenengleichung von E1 müßte hinkommen, orthogonal zu E2 wegen Normalenvektor, A und C drin. Jetzt muß die Gleichung von E1 noch in die Normalenform gebracht werden, wie die Aufgabe es verlangt - voilá.
hoffe, es hilft weiter. MfG,
Freddy
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1935
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 07:44: |
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Hi M,
Da wir im Namen dieselben Initialen tragen,
nehme ich mir gerne die Mühe, einen kleinen
Beitrag zur Lösung Deiner Aufgabe beizusteuern,
obwohl Freddy die Aufgabe umfassend und gut
gelöst hat.
Wenn Du den Begriff des Vektorproduktes kennst,
kannst Du ohne das von Freddy erwähnte Puzzle
auskommen und zu einer kompakten Lösung
vorstossen.
Die Punkte B,C,D bestimmen die Ebene E2.
Die gesuchte Ebene E1 geht durch die Gerade CA
und steht zu E2 senkrecht.
Wir ermitteln zuerst die drei Verbindungsvektoren
mit C als gemeinsamem Anfangspunkt, nämlich
a = CA, b = CB, d = CD
(die Vektorpfeile sind weggelassen).
Das Vektorprodukt n = b x d ist ein Normalenvektor
der Ebene E2.
Das Vektorprodukt m = n x a ist ein Normalenvektor
der gesuchten Ebene
(x ist das Operationszeichen für die Bildung
des Vektorprodukts).
Wir berechnen also das doppelte Kreuzprodukt
m = ( b x d ) x a .
Die Koordinaten des Vektors m liefern uns die
Koeffizienten in der Koordinatendarstellung der
gesuchten Ebene E1.
Das konstante Glied in dieser Gleichung gewinnen wir
aus der Bedingung, dass E1 durch A (oder C) geht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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M (hhm)
Neues Mitglied
Benutzername: hhm
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 13:23: |
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@Freddy & H.R. Moser
Danke für die schnelle Antwort.
Erstmal zu Freddys Lösung:
Von der Ebene E1 (durch A & C) kann man natürlich einen Stützvektor (A oder C) und einen Richtungsvektor (C-A oder A-C) bestimmen. Mein Problem war, dass eben der dritte Punkt gefehlt hat (von dem man dann A abziehen müsste um auf den zweiten Richtungsvektor zu kommen), da hast du einfach den Normalenvektor der Ebene E2 (für die man ja durch drei Punkte eine Gleichung und durch das Kreuzprodukt der sich daraus ergebenden Richtungsvektoren oder durch ein Gleichungssystem den Normalenvektor ermitteln kann) genommen und ihn als zweiten Richtungsvektor in die halbfertige Gleichung von E1 eingesetzt! Ist das auch ohne weiteres möglich? Dieser Vektor wäre ja nicht direkt an den Stützvektor (--> z.B. A, der anderen Richtungsvektor wäre dann ja C-A) gekoppelt?
@andere Lösung:
Muss ich erst nochmal durchlesen, melde mich dazu später. |
Freddy Schäfer (freddy123)
Mitglied
Benutzername: freddy123
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 18:25: |
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...genau.
und: ja, das ist möglich. Mein Lieblings-Prof. sagt bei sowas immer: "Ihnen fehlt es an Härte!"
Wenn wir einen zu E2 senkrechten Vektor (Normalenvektor) als RV in E1 packen, wird E1 senkrecht zu E2, wie es die Aufgabe (hart) fordert. Tja und wenn das hinhaut und die anderen Bedingungen auch (hart) erfüllt sind, dann ist die Aufgabe eben (hart) gelöst. ;-)
PS: Megamath: nette Lösung, aber ich hab' in der Schule noch nichts vom Kreuzprodukt gehört... Du, HHM? ;-)
(Beitrag nachträglich am 17., Januar. 2003 von freddy123 editiert) |
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