| Autor |
Beitrag |
    
Alex
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 17:42: | 
|
Hallo alle zusammen. Ich habe ein Problem und zwar
das Integral (x^2+3)/(x^3+2x^2+x) soll zerlegt werden.Wie geht das mit der doppelten Nullstelle?? |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 19:04: |
|
Hallo Alex,
(x²+3)/(x³+2x²+x) = Z(x)/N(x)
N(x) hat Nullstellen: 0; -1; -1
also eine doppelte Nullstelle bei x=-1 und wir können schreiben:
N(x) = (x)(x+1)(x+1) = x(x+1)²
=======================
Allgemein gilt:
Ansatz:
für jeden einfachen Linearfaktor (x-a) : A/(x-a)
für jeden mehrfachen Linearfaktor: A/(x-a)³ + B/(x-a)² + C/(x-a) soviele Terme wie Mehrfachheit (hier dreifach)
also für eine zweifachen Linearfaktor: A/(x-a)²+B/x-a)
==================================
zurück zu unserem Beispiel:
Z(x)/N(x) = A/x + B/(x+1)² + C/(x+1)
wir multiplizieren mit N(x):
Z(x) = A(x+1)² + B(x) + C(x)(x+1)
x²+3 = Ax² + 2Ax + A +Bx + Cx² +Cx
Koeffizientenvergleich:
1 = A+C
0 = 2A+B+C
3 = A
===============
also: A = 3; B = -4; C = -2
und unser Integral wird:
ò 3/x - 4/(x+1)² - 2/(x+1)*dx =
= 3ln|x| + 4/(x+1) - 2ln|x+1| +C
================================== |
|
