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Nguyen Van (thi)
Neues Mitglied
Benutzername: thi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 16:25: | 
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Hi!
Kann jemanden diese Aufgabe lösen?
Kugel; m(0/0/0); r=13
g:x= (3/4/12)+r(2/1/6)
a) g schneidet Kugel in T1 und T2; berechne die Koordinaten von T1 und T2 und die Gleichung der Tangentialebene E1 und E2 in Ti und T2.
b)Winkel zwischen E1 und E2;Abstand (T1/E2) und (T2/E1)
c) winkelhalbierende Ebene von E1 und E2, welche die Kugel schneidet. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 16:49: |
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Schnittpunkte auf der Geraden für r=0 und r=4! Mehr später
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 18:32: |
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So,
in meiner ersten rechnung hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen!!
es muss heißen r=-4!!
Aber nun:
um diese beiden werte zu berechnen, setzt du die geraden gleichung einfach in die kugelgleichung ein!!!
K: (Vect[x])^2=169
g: Vect[x]=(3,4,12)+r*(2,1,6)
==>>[(3,4,12)+r*(2,1,6)]^2=169
dies mit binomi und skalarprodukt ausdividieren fühert auf die quadratische gleichung:
41r^2+164r=0
mit r=0 und r=-4 als lösung!
Schnittpunkte sind damit:
S1 (3|4|12) und S2 (-5|0|-12).
die ebenen schreib ich jetzt einfach mal hier hin, vielleicht erkenst du wie man drauf kommt!
T1 3 * x1 + 4 * x2 + 12 * x3 = 169
T2 -5 * x1 - 12 * x3 = 169
b) Schnittwinkel: 19,81°
Beide Punkte haben von der Anderen Ebene jeweils den Abstand ~25,23.
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Nguyen Van (thi)
Neues Mitglied
Benutzername: thi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 19:49: |
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Vielen Dank für deine Hilfe!! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1936
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 07:53: |
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Hi
Lösung der Teilaufgaben:
Abstände und Winkelhalbierungsebenen.
Wir bringen beide Ebenengleichungen in die
Hessesche Normalform.
Das geschieht dadurch, dass wir die
Ebenengleichung auf null bringen und beide
Seiten der Gleichung mit dem Hesseschen
Divisor H dividieren.
H ist der Betrag des Normalenvektors, dessen
Koordinaten der Reihe nach die Koeffizienten
der Variablen x,y,z sind.
Bei der ersten Ebene erhalten wir
H = H1 = wurzel(3^2+4^2+12^2) = 13,
bei der zweiten Ebene
H = H2 = wurzel(5^2+12^2) = 13
Die Normalformen lauten daher so:
E1: ( 3x + 4y + 12 z -169 ) / 13 = 0
E2: ( -5x - 12 z – 169 ) / 13 = 0
Ohne Schaden zu stiften, dürfen wir beide Seiten
der zweiten Gleichung mit -1 multiplizieren,
sodass die HNF von E2 nun lautet:
E2: ( 5x + 12 z + 169 ) / 13 = 0
Wir erhalten den Abstand d eines Punktes P
von der Ebene E,
indem wir in der HNF x,y,z durch die
Koordinaten von P ersetzen.
Somit erhalten wir für die gesuchten Abstände:
…des Punktes T2 von der Tangentialebene E1:
d1 = (-15-144 -169 ) / 13 = - 328 / 13
Der absolute Betrag des Abstandes ist 328 / 13
…des Punktes T1 von der Tangentialebene E2:
d2 = (15+144 +169 ) / 13 = 328 / 13
Dass die beiden Absolutbeträge der Abstände
übereinstimmen, ist geometrisch leicht
einzusehen.
Wir benützen die HNF auch dazu, die
Winkelhalbierungsebenen zu berechnen:
Wir setzen die Abstände eines laufenden Punktes
P(x/y/z) von E1, E2 einander gleich.
Wir erhalten
(3x+4y+12 z -169)/13 =(5x +12 z +169)/13 =0
Daraus folgt sofort:
2x -4 y+338 = 0 oder x–2y+169 = 0
als Gleichung einer ersten Winkelhalbierungsebene
W1
Die Gleichung der andern Winkelhalbierungsebene
W2 erhält man aus der Bedingung,
dass die Abstände des laufenden Punktes P(x/y/z)
von E1 und E2 entgegengesetzt gleich sind.
Wir erhalten als Resultat für W2:
8x + 8 y + 24 z = 0 oder x + y + 3z = 0
Da die zweite Ebene W2 durch den Nullpunkt O,
d.h. durch den Mittelpunkt der Kugel geht,
stellt sie die gesuchte Winkelhalbierungsebene dar.
Die beiden Winkelhalbierungsebenen stehen
übrigens aufeinander senkrecht, wie man anhand
der Normelenvektoren der Ebenen feststellt:
ihr Skalarprodukt ist null.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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