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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 226
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 15:38: | 
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Hallo,
ich sitze hier grad und schaue mir alte Abiklausuren Mathematik an. Mein Abi steht auch kurz bevor. Ich mache mir da eigentlich keine Sorgen, da der LK in den ich geraten bin doch eher einer der "einfacheren" Sorte ist.
Damit nicht alle Schüler hängen bleiben hat unser Lehrer das Pensum stark zurückgeschraubt, so dass ich mir, als Matheliebhaber, vieles selber bei bringen muss (ich versuchs wenigstens!!). Naja, aber bei dieser Aufgabe, da komm ich nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Diese Aufgabe stammt aus dem Bereich Analysis/Vektorielle Geometrie:
Gegeben sei der Paraboloid P: z=f(x;y)=8-y^2-(0,5*x^2)
a) Bestimmen sie mit Hilfe der partiellen Ableitungen das absolute Maximum!
b) Geben sie die Gleichungen der Ellipse e und der Parabeln p und q an, die sich als Schnittmengen des Paraboloids mit den Grundebenen ergeben!
Vielen Dank im Vorraus
mfg |
Matthias (metal)
Neues Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 16:55: |
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Du must als erstes, wie im 2dim, die ,möglichen Nullstellen der Ableitungen finden (genannt: stationäre Punkte).
Das ganze wird also einmal nach x und einmal nach y abgeleitet.
=> nabla f(x,y)=(-x, -2y)
jetzt musst Du überprüfen in welchen Punkten beide Steigungen =0 sind. Hier ist das natürlich nur der Punkt (0,0)
Jetzt musst Du die Hesse-Matrix bilden. Die Sieht folgendermaßen aus:
x-x , x-y
y-x , y-y
Das heißt, oben links steht die 2fache Ableitung nach x, oben-rechts erst nach x und dann nach y,...
die einzelnen Einträge werden mit
a b
c d
benannt.
jetzt bildest Du die Determinate davon:
H(x,y)= -1 0
0 -2
=> Det(H(x,y))= 2
Dann gibt es ein paar Sätze:
det(H)<0 => (x,y) Sattelpunkt
det(H)>0 und a>0 => (x,y) Minimum
det(H)>0 und a<0 => (x,y) Maximum
Da unsere Determinate >0 und a<0 ist, handelt es sich hier um ein Minimum. Das kann man in diesem Beispiel auch leicht ohne den Satz sehen: Betrachtet man nur die x- oder nur die y-Richtung so sieht man je eine nach unten geöffnete Parabel -> also Maximum in (0,0,8)
b)
Die Ellipse e liegt in der x-y-Ebene, also ist z=0. Ihr Mittelpunkt liegt, wegen dem Maximum aus a) in (0,0,0). Wenn Du y=z=0 in f(x,y) einsetzt kommt für x=+/-4 raus. Dass sind die x-Halbachsen mit x=z=0 ist y=+/-sqrt(8).
Jetzt kannst Du Dir die Ellipse basteln.
Und die Parabeln sind die Schnitte mit der x-z- bzw. der y-z-Ebene. Da setzt Du die Punkte ähnlich ein, bastelst ein bisschen 'rum und kannst Dir vielleicht den Scheitel- und die Schnitte mit der x-y-Ebene errechnen und darüber die Parabeln rausfinden. Es gibt wahrscheinlich noch tausend andere Möglichkeiten, aber die hier scheint mir im Moment am bildlichsten zu sein.
Viel Spaß |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 237
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 15:05: |
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Hi,
also a) muss ich mich nochmal eingehender mit beschäftigen.
zu b)
Ich hab mir das jetzt auch selber mal überlegt:
also: um den Paraboloid (ist es ein elliptisches oder hyperbolisches Paraboloid?) mit den Grundebene zu schneiden, hab ich mich an die Gleichungen der Ebenen in Koordiantenform erinnert!
xy Ebene: z=0
z=8-y^2-(0,5*x^2)
0=8-y^2-(0,5*x^2)
0,5x^2+y^2=8
(x^2/16)+(y^2/8)=1
==> Ellipse in der xy Ebene mit Mittelpunkt (0|0)
den Brennpunkten (sqrt(8)|0) und (-sqrt(8)|0).
xz-Ebene: y=0
z=8-y^2-(0,5*x^2)
z=8-(0,5*x^2)
x^2=-2z+16
Dann wäre Der Scheitel (0|8), der Brennpunkt (0|7,5) und die Gleichung der Leitlinie z=8,5.
yz Ebene x=0
z=8-y^2-(0,5*x^2)
z=8-y^2
y^2=-z+8
Mit dem Scheitel (0|8) dem Brennpunkt (0|7,75) und die Leitlinie z=8,25.
Nun habe ich noch 3(!!) weitere Fragen:
1.) Stimmen die Ergenisse?
2.) Durch Rotation welchen Körpers entsteht ein Paraboloid, welcher sorte? Was ist der Unterschied zwischen Paraboloid und Hyperboloid?
3.)Bezieht sich auf den Paraboloid:
z=f(x;y)=8-y^2-(0,5*x^2)
Geben sie die Gleichung der Tangentialebene an die Parabel im Punkt A(2|1|z) an!
Vielen Dank im Vorraus!
mfg
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Matthias (metal)
Junior Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 20:23: |
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Ui, da muss ich erstmal drüber nachdenken. Is schon was her.
Erstmal zu frage zwei:
Ein Paraboloid ensteht natürlich aus der Rotation einer Parabel. Aber eigentlich handelt es sich in diesem fall nicht um ein Paraboloid, da der Querschnitt jeweils aus einer Ellipse gebildet wird. Wir haben hier also eigentlich keinen Rotationskörper, da wir unterschiedliche Parabeln in x- und y-Richtung zugrunde gelegt haben. Das ganze sieht also eigentlich wie ein zusammengedrückter Kelch ohne Fuß aus.
Sieh mal unter
http://www.mathe-online.at/ArchivMatheLinks/online werkzeuge.html Vielleicht kannst Du irgendwas davon gebrauchen...
Mit der Unterscheidung zwischen Paraboloid und Hyperboloid kann ich Dir nicht weiterhelfen. Wahrscheinlich ist das einfach 'ne rotierte Hyperbel, also x^3. Würde dann 'nen Doppelkelch machen, aber die Namen von den Dingern sind für mich nur Schall und Rauch. Hauptsache Du hast das Bild im Kopf.
Zu Deinen Ergebnissen:
Die Ellipse in der xy-Ebene müsste sich so ergeben:
z=8-y^2-(0,5*x^2)
mit z=0 und y=0 (um nur die Parabel in x-Richtung zu betrachten) ist x=+/-4
mit z=0 und x=0 (... y-Richtung...) ist y=+/-sqrt(8), also alles wie Du gesagt hast.
Bei den anderen Aufgaben hab ich mir nur 'nen möglichen Lösungsweg ausgedacht, aber wir können das ja mal überprüfen:
y=0 => z=8-0,5*x^2
also Scheitel bei(0,0,8).......
Hey, mir fällt gerade auf, dass man überhaupt nichts rechnen muss, wenn man die Ellipse schon kennt:
Der "Anfang" des Paraboloids ist (0,0,8)
=> Die Parabel in xz ist also einfach der gesamte Funktionsterm mit y=0, schneidet die x-Achse natürlich in + und -4
und die Parabel in yz mit x=0 die y-Achse in + und - sqrt(8)
Ich weiß nicht was Du mit Brennpunkt und Leitlinie meinst, nehme aber bei Deinen sonstigen Beiträgen an, dass Du recht hast. Aber denk bei Deinen Ergebnissen immer dran, dass das Ganze im 3dim stattfindet!
Mal sehen, ob wir Deine 3.Frage auch beantwortet kriegen:
Eigentlich brauch man nur die Steigung in x- und in y- Richtung!
Die Steigung in x-Richtung ist -x, die in y-Richtung -2y (einfach die Gl. einmal nach x ableiten, y als konstante sehen und einmal andersrum). Der Punkt in dem uns das Ganze interressiert ist natürlich (2|1|5).
Und jetzt kommt der Teil, bei dem ich nicht so ganz aufgepasst habe. Die Steigung müsste ja in diesem Punkt irgendwas mit (-2|-2) zu tun haben. nach dem Bronstein ist das der Nabla-Operator, der die Richtung des stärksten Wachstums angibt, aber das krieg ich im Moment irgendwie nicht auf die Reihe. Ich überschlaf das ganze nochmal, vielleicht fällt mir morgen was ein
Oder hast Du 'nen Geistesblitz? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 245
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 21:47: |
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Hm,
dies ganze Thema ist für mich eigentlich noch neu, wie man aus meinem ersten Posting erlesen kann. Aber ich lese mich grad in Hesse-Matrix etc ein.
Ich dachte ich erhalte als Tangentialebene so etwas wie z.B. 2x-y+3z=12 (wie z.B. bei Tangentialebenen an Kugeln).
Insgesamt muss ich zugeben, dass ich von diesem Thema ca. 10% verstanden habe, deswegen hab ich ja hier gepostet, weil es mich interesiert und ich mehr davon versthen möchte!
Vielleicht hat ja auch noch irgendwer anders ne Idee???
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 246
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 13:12: |
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Es ist mir schon fast peinlich, aber es gibt noch zwei Aufgaben zu diesem Paraboloid die mich jetzt schon seit zwei Tagen in den Wahnsinn treiben!
Ich versuche es zwar immer erst selbst, aber hier finde ich keinen Zugang:
Es handelt sich immer noch um den Paraboliden:
z=f(x;y)=8-y^2-(0,5*x^2)
1) Berechenen sie das Volumen des Paraboloids P, das sich bei der Rotation der Parabel p(dies wahr die Parabel die als Schnitt von z=f(x;y)=8-y^2-(0,5*x^2) mit den Grundebenen entstand) oberhalb der xy-Ebene um die z-Achse ergibt, und leiten sie daraus das Volumen von P oberehalb der xy Ebene her!
2) Geben sie einen Ansatz für die Berechnung des Volumens von P oberhalb der xy-Ebene durch zweifache Integration an!
Hat Aufgabe zwei irgendwas mit Doppelintegralen zu tun? Ich finde keinen Ansatz. Dies ist eine Aufgabe aus dem Abitur 2001 NRW.
Vielen Dank im Vorraus.
mfg |
Matthias (metal)
Junior Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 16:47: |
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Ich Idiot!
Mit der Ebene das ist einfach ganz einfach. Es gibt die Formel für die Tangentialebene:
z=f(a,b) + d(f(a,b))/dx * (x-a) + d(f(a,b))/dy * (x-b)
Ist Dir klar was df/dx, bzw df/dy bedeutet? Du musst die Funktion f nach x Ableiten und y dabei als Parameter betrachten. Klar?
Du kannst ja mal die Werte von oben einsetzen. Wenn Du ein Ergebnis hast kann ich Dir sagen ob's stimmt.
Jetzt zu den neuen Aufgaben:
1)Es gibt 'ne Formel für die Berechnung von Rotationskörpern. Meiner Meinung nach ist sie:
pi* $(f(x)^2 -g(x)^2)dx. Das einzige wo ich mir unsicher bin ist der Vorfaktor. Ich mein aber es stimmt so. Das ganze bedeutet: Du tust so, als wäre das ganze im 2dim, also liegt der eine Parabel-Arm an der z-Achse an. f(x) ist die obere Funktion und g(x) wäre eine untere Funktion, wenn unser Körper nicht direkt an der z-Achse liegen würde.
Also: Wir schnappen uns die komplette Funktion und setzen y=0. So ergibt sich die gekippte Parabel z=8 - x^2 /2. Da Wir das ganzw aber um die z-Achse rotiereen lassen wollen muss unsere Funktion von z abhängen. Nach dem umstellen ergibt sich: x=+/- sqrt( 2z-16)=f(z).
Wir müssen aber nur den positiven Arm betrachten, da wir ihn eh rotieren lassen!
=> pi* $(2z-16)dz = pi*[z^2-16z] in den Grenzen von 8 bis 0. Sind die Grenzen klar? Das kann dann noch ausgerechnet werden. Ich überlege nur gerade, ob der Faktor nicht doch 2pi war, aber ich hab eigentlich pi im Kopf. Ich frag mich allerdings, warum man daraus das Volumen von P herleiten soll. Man hat es doch gerade berechnet???
Zu 2)
Hey, Du bist gut! Ja, es handelt sich um ein Doppelintegral. Das äußere Integral hat feste Grenzen, also wieder von 0 bis 8. Wärend das äußere Integral eine Aufsummierung der Körperfläche von links nach rechts darstellt, müssen wir mit dem inneren Integral die Höhe erfassen. Die ist jetzt natürlich von der Position abhängig, über die man gerade integriert. Jetzt müssen wir allerdings auch die gesamte Fläche des Körpers abdecken, also jeweils von ganz unten nach ganz oben integrieren. Die Grenzen des inneren Integrals gehen dann von 0 bis zur jeweiligen Höhe, also bis 2z-16, wie oben berechnet.
Aber vielleicht versuchst Du erst mal an 'nem Quader oder einem ähnlich Körper ohne variable innere Grenzen das Volumen zu integrieren. Und wenn Du Dich darin sicher fühlst kannst Du weiter basteln.
Aber mal ganz ehrlich: Soll das Stoff für die Oberstufe sein? Die Formel für den Rotationskörper steht ja noch in meinem alten Mathebuch, aber die Doppelintegrale und die Tangentialebene hab ich in Mathe 2 kennengelernt. Vielleicht hilft Dir das genze weiter. Wenn Du noch Fragen hast oder ich irgendwas unverständlich erklärt habe, dann immer raus damit. Ich versuchs beim nächstenmal besser zu machen.
Viel Spaß |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 247
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 19:38: |
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Also die Notation df/dx war mir schon bekannt!
aber ich habe eine frage zu der formel:
z=f(a,b) + d(f(a,b))/dx * (x-a) + d(f(a,b))/dy * (x-b)
soll f(a,b) bedeuten das für x=a und y=b gesetzt wird also: f(a,b)=8-b^2-(0,5*a^2), das wäre aber unsinnig weil dann ja d(f(a,b))/dx zu d(8-b^2-(0,5*a^2))/dx würde was ja eine Zahl ist, also beim differenzieren entfällt! und soll es am ende (y-b) heißen, da mir das y irgendwie in der formel fehlt!
also die formel für das rotationsvolumen war mir auch bekannt ich hatte nur probleme wegen dem 3dim aber das hat sich geklärt, man integriert einfach nach dz. Und die pi als vorfaktor sind natürlich auch richtig!!
Wonach wird dem im inneren Integral integriert??
also hier bei mir steht jetzt:
ò0 8( ò0 (2z-16) ?? d? ) dz
Hast du schon fertig studiert? Ich finds echt gut das du mir hier hilfst, kann ich von meinem Lehrer nicht erwarten! Naja, ob du es glaubst oder nicht, das war Abituraufgabe 2001 in NRW ich kanns dir gerne einscannen und schicken! Das ist ein sehr interesantes, wenn auch zeitaufwendiges thema!
Vielen Dank im Vorraus
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1937
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 06:27: |
|
Hi Matthias; Hi Ferdi
Ihr habt Euch so sehr um das elliptische Paraboloid
bemüht, dass ihr einen Orden verdient hättet.
Ich will Euch zeigen, wie die Standardlösungen dieser
Aufgaben gehen.
Berechnung des Volumens V des Paraboloids
(I)
Es gibt eine elementare Formel für V, welche so lautet:
V = ½ G * h ;
G ist die Grundfläche, hier die Fläche F
der Ellipse in der (x,y)-Ebene mit den Halbachsen a = 4
und b = 2 * wurzel(2)
Beachte: b = ½ wurzel(2) * a…………………………..(1)
Die Höhe h ist 8.
Somit gilt V = ½ Pi a b h = 32 Pi * wurzel (2)……(2)
(II)
Mit Hilfe der Integralrechnung.
Wir betrachten Schichten der Breite dz , welche je durch
zwei Schnitte im Abstand dz senkrecht zur z-Achse
entstehen.
Eine solche Schicht hat das so genannte Elementarvolumen
dV und stellt einen Zylinder mit der Grundfläche F(z)
und der Höhe dz dar; somit ist dV = F(z) * dz
F(z) ist die Fläche des elliptischen Schnittes, der durch die
Parallelebene zur (x,y)-Ebene im Abstand z entsteht.
Die Halbachsen der Schnittellipsen sind a(z), b(z) mit
a(z) = wurzel(16 – 2z) = wurzel(2) * wurzel (8-z)
b(z) = wurzel(8-z) ;
es gilt analog zu (1): b(z) = ½ wurzel(2) * a(z) ;
alle Schnittellipsen sind zueinander ähnlich.
Das Volumen V ergibt sich nun durch Integration;
die untere Grenze des Integrals ist null, die obere 8:
V = int [F(z) * dz ] = int [Pi * a(z) * b(z) * dz ]
= Pi * int [ ½ wurzel(2) * (16 – 2 z) * dz ] =
32 Pi wurzel(2)
************
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1938
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 07:13: |
|
Hi Matthias, Hi Ferdi,
Ich zeige Euch noch, wie man die Gleichung der
Tangentialebene des Paraboloids im Punkt P1(2/1/z1)
findet.
Wir ermitteln z1 aus der Gleichung des Paraboloids
und erhalten z1 = 5.
Um nun die Gleichung der Tangentialebene einer Fläche
zweiter Ordnung zu bekommen, und zu
dieser Kategorie gehört das elliptische Paraboloid,
benützt man mit Vorteil ein Verfahren, das Polarisation
der entsprechenden Gleichung heisst.
Ein analoges Verfahren dient im der Ebene dazu,
die Tangenten eines allgemeinen Kegelschnitts zu erhalten.
Rein mechanisch gehen wir so vor: in der Gleichung zweiten
Grades, durch welche die Fläche dargestellt wird, ersetzen wir
x^2 wird durch x1 x, y^2 durch y1 y , z^2 durch z1 z ,
x durch ½ (x + x1), y durch ½ ( y + y1 ) ,
z durch ½ (z+z1).
Aus der gegebenen Gleichung
z = 8 – y^2 – ½ x^2 entsteht durch dieses Verfahren der
Polarisation folgende allgemeine Gleichung der
Tangentialebene mit P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt:
½ (x + x1) = 8 – y1 y - ½ x1 x.
Setzen wir die Zahlenwerte ein, so kommt als Gleichung
der gesuchten Tangentialebene:
½ ( 5 + z) = 8 – y – x oder 2 x + 2 y + z = 11
Anmerkungen
Allgemeiner erhält man für beliebige Punkte P1 mit der
polarisierten Gleichung die Polarebene bezüglich P1 als Pol
und in der Ebene die Polare zu P1 als Pol.
Man kann die Tangentialebene auch mit Hilfe des Begriffs
„Gradient“ finden.
Wie das geht, zeige ich den Kennern der Materie ohne
weitere Kommentare:
Phi (x,y,z) = ½ x ^ 2 + y ^ 2 + z - 8
Phi = 0 : Paraboloidgleichung
Partielle Ableitungen von Phi nach x, y , z der Reihe nach:
x ; 2 y ; 1.
Das sind gerade die Koordinaten des Gradienten,
der ein Vektor n ist und einen Normalenvektor der
Tangentialebene liefert, wenn man x, y, z durch x1 , y1 , z1
ersetzt. Tun wir das, so erhalten wir
n = {2 ; 2 : 1 },wie oben.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser, megamath.
|
Matthias (metal)
Junior Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 12:27: |
|
Nich schlecht...
Danke megamath. Polarisation hab ich zwar noch nie gehört, aber das Verfahren scheint ganz gut zu funktionieren. Aber um noch mal zu "meiner" Tangentialebene und Ferdis Frage zu kommen:
Du hast recht, so wie ich das ganze aufgeschrieben habe macht es keinen Sinn. Es müsste eigentlich folgendermaßen aussehen:
z=f(a,b) + (df/dx)(a,b) * (x-a) + (df/dy)(a,b) * (x-b)
Es werden also zuerst die partiellen Ableitungen gebildet und dann die Werte a und b eingesetzt. Die Multiplikation mit (x-a) bzw. (y-b) bewrikt, dass Du auch im Anschluß an die Rechnung noch eine Abhängigkeit von x und y hast. Da wird also nichts eingesetz. Das ganze berechnet sich dann folgendermaßen:
A(2|1|z)
z=f(a,b) + (df/dx)(a,b) * (x-a) + (df/dy)(a,b) * (x-b)
z= 5 + -a (x-a) + -2b (y-b),
mit a=2 und b=1:
z=5-2x+4-2y+2, also im Endeffekt:
2x + 2y + z = 11, wie megamath es vorhergesehen hat.
Für welche Variante man sich entscheidet ist wie so oft in der Mathematik dann nur noch Geschmackssache.
Ich bin übrigens noch lange nicht fertig mit meinem Studium. Ich studiere Elektrotechnik im 3.Semester. Die ersten paar Semester bestehen aber nur aus Grundlagen in E-Technik, Physik, Informatik und haufenweise Mathematik. Leider kam ich nie in den Genuß einen Mathe-LK zu besuchen, da ich mich blöderweise für den Grundkurs entschieden habe. Aber als Nachhilfelehrer und halber Mathestudent stollpert man über einige Berechnungen, die einfach Spaß machen. Außerdem find ich es toll an irgendwelchen Sachen rumzuknobeln, die man dann hinterher selbstständig und ohne Lösungsbuch rausgekriegt hat. Und das tolle an der 3d-Vektorrechnung ist, dass man sich noch alles vorstellen kann.
Aber Du hattest noch eine Frage zu dem Doppelintegral:
Unser stiller Freund und Helfer hat mich natürlich gnadenlos an die Wand gespielt. Was ich Dir so umständlich mit dem Doppelintegral verkaufen wollte dient der Berechnung von Flächenintegralen aus dem kapitel Mehrfache Integrale. Vielleicht helfen Dir die Skripte meines mathe-Profs weiter. Unter Lectures sind die für alle Welt frei zugänglich:
http://www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/
Wenn Du fragen zu den Dingern hast kann ich Dir sicher weiterhelfen, da ich noch sämtliche Aufzeichnungen im Schrank liegen habe. Also, viel Spaß! |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 249
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 15:01: |
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Vielen vielen Dank für eure Mühen H.R.Moser und Matthias!
Aber warum sollten wir gleich einen Orden verdient haben?
Das sind jetzt soviele Informationen die muss ich erst einmal verarbeiten. Dazu kommt noch das wir in der Schule auch noch mit Hypothesen und Alternativtests und so n krams angefangen haben! naja, falls mir noch was unklar ist werd ich fragen.
Danke noch mal!
mfg |
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