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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 15:16: | 
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Hallo kolegen,
gegeben sei die Funktionsschar
fp(x)=(x-p)*e-p*x
wobei p Element aus R ist.
Man untersuche die Funktion auf
- Nullstellen
- Extrema
- Wendepunkte
- Asymptoten
- Ortskurve der Extrema
Meine Ergebnisse:
Nullstelle:
x=p
N(p|0)
Extrema:
x=(1+p²)/p für p ungleich Null
E((1+p²)/p|c1*e-(1+p²)
für p>0 Maxima
für p<0 Minima
Wendepunkte:
x=(2+p²)/p p ungleich Null
W((2+p²)/p|2*p-1*e-(2+p²)
===============================================0
Frage
a) stimmen meine Ergebnisse?
b) Wie sieht es mit Asymthoten und Ortskurven aus?
Vielen Dank im Voraus
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 15:45: |
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Hi,
die Ergebnisse hab ich auch. Kann man ja auch einfach mit irgendnem Programm überprüfen!
zu b)
Asysmptotisch verhält sich die Funktion für x->¥ immer zu e^(-p*x), da die e-Funktion schneller wächst oder fällt als jede Ganzrationala Funktion.
für mehr hab ich jetzt keine Zeit.
mfg
(Beitrag nachträglich am 14., Januar. 2003 von tl198 editiert) |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 268
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 17:17: |
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Hi Ferdi,
hast recht mit dem Asymptotischen Verhalten. lässt sich ja leicht mit l'hospital zeigen....
Aber wie sieht es mit der Ortskurve der Maxima aus?
mir ist es nicht gelungen aus dem Term
x=(1+p²)/p p zu isolieren. sonst kann ich keine Ortskurve berechnen!
aber sonst vielen Dank bis dahin!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 230
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 17:48: |
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also,
ich hätte für p anzubieten:
p=+-(sqrt(0,25*x^2-1)+0,5*x
aber ohne gewähr. ich muss das zu hause noch ma überprüfen!
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 269
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 19:06: |
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Hi Ferdi,
du hast recht, schließlich ist das ja nur eine in p quadratische Gleichung, also easy zu lösen.
Das problem ist nur welcher der beiden möglichkeiten für p ist für das Maximum und für das Minimum bestimmt.
Da für Maxima positive werte für p zugelassen sind ist also p stehts positiv. Aber wie soll ich nun bei der quadratischen Gleichung sicherstellen das p positiv ist? schließlich können ja die x werte variieren...
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 234
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 19:07: |
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hi niels,
also ich bin mir jetzt ziemlich sicher das gilt:
p>0
==> p=sqrt(0,25*x^2-1)+0,5*x
p<0
==>p=-sqrt(0,25*x^2-1)+0,5*x
machst du auch abitur und wiederholst dieses ganze krams? ich freu mich schon richtig auf meine abitur klausur in mathe!
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 270
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 20:05: |
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Hi Ferdi,
Ja ich mache auch Abitur in Mathe. Ich habe LK Mathe damals gewählt. Im Prinzip ist der Stoff auch einfach, aber ich habe ein Mathelehrer der meint sich immer kreative aufgaben ohne sinn und Verstand ausdenken zu müssen.
Ohne sinn und Verstand heißt, das er oft sich nicht im klaren ist ob Aufgabenstellungen schwirig oder unlösbar sind. Er steht oft an der Tafel, und fragt uns, was man denn nun mit diesen und jenen Term machen könnte um die Aufgabe zu lösen. Und falls dann alles schweigt heißt das, macht diese Aufgabe zuhause zu ende. Er muss zuhause wohl auch erstmal nachdenken.
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 235
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 21:02: |
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Ja,
das kenne ich. Und wenn man dann mal etwas weiter gehendes fragt, kriegt man gleich zu hören: "Das steht nicht im Curriculum!". Ist doch alles schwachsinn. Wenn ich sehe, das bei mir im Kurs manche Leute nicht wissen, was Primzahlen sind, dann könnte ich manchmal explodieren. Aber so ist das nun mal in Deutschland. Zum Glück gibts ja Zahlreich und meinen alten Mathelehrer, mit dem kann ich richtig gut diskutieren. Den treffe ich immer am Wochenende in der Kneipe.
Naja, die letzten Wochen übersteht man dann auch noch...
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 15:22: |
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Hi Ferdi, weiter geht es mit dieser Netten Aufgabe:
Betrachtet werden soll diese Schar für p>0
Es werden die die Tangenten in dem Punkten
N(p|0) betreachtet. sie Schneiden die y-Achse in verschiedenen Punkten. Für welches p wird der Flächeninhalt des 3 - Ecks Ursprung;Nullstelle; y-Achsen Schnittpunkt der Tangenten Maximal?
Ich dachte die Aufgabe wäre relativ einfach:
1)Man bilde die Tangentengleichungsfunktion für alle Nullstellen.
Mein Ergebnis:
T; y=(x-p)*e-p²
Dreiecksfläche:
A(p)=-0,5p²*e-p²
A'(p)=e-p²[p-p³]
A''(p)=(-3p²+1)*e-p²-2p*(p-p³)*e-p²
A''(p)=(2p4-5p²+1)*e-p²
A'(p)=0=>p=1
A''(1)<0 Maximum !
Ist das Ergebnis Korrekt?
Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 240
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 16:32: |
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Hi Niels,
die Idee scheint Richtig, doch wenn man sich die Funktion A(p)=-0,5*p^2*e^(-p^2) anschaut, erkennt man das bei p=1 und p=-1 Minima liegen und das Extrema bei p=0.
Du scheinst einen Bock in der Ableitung zu haben, den ich bekomme:
A'(p)=(p^3-p)*e^(-p^2)
Wir fahren wir nun fort?
mfg
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 272
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 17:14: |
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Hi Ferdi, dann schauen wir uns das mal an:
A(p)=-0,5p²*-p²
A(p)=-0,5*u(x)*v(x)
Wobei u(x)=p² =>u'(x)=2p
und v(x)=e-p²=>v'(x)=-2p*e\+(-p²}
A'(x)=-0,5*[u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)]
A'(x)=-0,5*[2p*-p²-2p* p²*-p²]
A'(x)=-[p*e-p²-p³*e-p²]
A'(x)=[p³-p]*e-p²
Anscheindend hast du recht, nur p=0 als Maxima macht keinen sinn, weil dann ja das Dreieck aus Ursprung, Nullstelle und y-Wert auf einen Punkt zusammenfällt.Die Fläche also Null, d. h. Minimal wäre und nicht Maximal.
Also irgend etwas scheint da nicht hin zu hauen, obwohl, wenn man sich die ursprüngliche Schar für p=1 und die Tangente durch (1|0) das Dreieck wirklich Maximal zu sein scheit.
Wo ist also der Fehler?
Gruß n. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 241
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 18:34: |
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Tja,
ich überleg auch schon die ganze Zeit.
Vielleicht kommt mir noch eine erleuchtung.
ich hab das mal für p=1 im anhang!
Wenn du lust hast, kannst du dir ja auch mal meine aufgabe unter dem Stichwort "Paraboloid-Aufgaben" anschauen, da könnte ich auch noch etwas hilfe gebrauchen.
mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 242
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 18:49: |
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Ich bins noch mal:
Also ich bin jetzt mal von einer anderen Seite an die Aufgabe gegangen, mit einem Überraschendem Ergebniss:
ich berechne:
ò0 p (x-p)*e^(-p^2) dx
==> -0,5*p^2*e^(-p^2)
tja, es ist ja theoretisch auch möglich, dass die aufgabe aus deinem buch fehler hat (soll ja vorkommen)
mfg |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 18:55: |
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Hi Ferdi,
ließe sich aus unserer Rechnung denn schließen das es keine Maximalgröße des 3-Ecks gibt und die Lösung p=1 sozusagen das kleinste 3-Eck ist?
Ich bin ein Idiot, na Ferdi, mal sehen ob du unseren-besser gesagt meinen Fehler findest...
So etwas dummes, *grrr*
Vielen Dank Ferdi!
Gruß N.
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Matthias (metal)
Junior Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 20:45: |
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Eure Rechnungen stimmen alle. Ich habs nochmal nachkontrolliert. Ich glaube aber den Fehler gefunden zu haben:
Das Dreieck liegt unter der x-Achse. Der Flächeninhalt wird also beim Integrieren negativ gezählt. Also müsst Ihr natürlich nach einem Minimum suchen.
ODER:
Ihr nehmt |A(p)| um den Flächeninhalt unter der x-Achse positiv zu zählen. Desshalb kam auch bei Niels' Rechnung das Richtige Ergebnis raus.
Müsste eigentlich so stimmen, oder hab ich jetzt einen Denkfehler? |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 274
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 21:13: |
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Hi Mathias,
Genau das war der Springende Punkt!
Das 3-Eck liegt unter der x-Achse, d.h Ferdis Integral gehört in Betragsstriche gehüllt, und ich hätte
A(p)=0,5*p*|-p*e-p²|
A(p)=0,5*p²*e-p²
rechnen müssen, deswegen war meine erste Rechnung ja auch c=1 scheinbar so erfolgreich...
Ich habe es dann aber gemerkt!
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 244
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 21:44: |
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Jo,
war mir ein Vergnügen. Hat ja auch mein altes Analysis-Wissen wieder rausgekramt, kann ich gut gebrauchen fürs Abi ;-)
mfg |
Dreieck
