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Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 325
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Januar, 2003 - 22:16: | 
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Hi,
der Nenner darf bekanntermaßen nicht 0 werden; also x - a <> 0, -> x <> a
Wenn x -> a geht, geht der Nenner gegen Null und daher der ganze Bruch gegen Unendlich (oo). Man muss noch schauen, was geschieht, wenn x von links bzw. von rechts gegen a geht. Im ersten Fall ist ja x < a und somit der linksseitige Grenzwert -oo, anderenfalls der rechtsseitige Grenzwert + oo. An der Stelle x = a liegt also eine Polstelle mit Sprung von minus nach plus Unendlich vor.
Die max. Definitionsmenge der Funktion ist
Df = {x | x <> a und x € R}
Extrempunkte erhält man durch Nullsetzen der 1. Ableitung:
fa'(x) = [(e^x)*(x-a) - e^x]/(x-a)² -> 0(Quotientenregel)
(e^x)*(x-a-1) = 0; e^x ist immer > 0
x(Ea) = a+1; y(Ea) = e^(a+1)
Über die Art des Extremums gibt die 2. Ableitung Auskunft:
fa'(x) = (e^x)*(x-a-1)/(x-a)²
Da die 1. Ableitung an der Extremstelle Ea bereits 0 ist, kann man für die Bestimmung des Wertes der 2. Ableitung an der Stelle Ea ein verkürztes Verfahren (die Regel u'/v, wenn die 1. Ableitung ein Bruch ist) verwenden, also nur den Zähler ableiten. Denn wenn f' = u/v = 0, ist u = 0, die 2. Ableitung f '' = (u'v - uv')/v² = u'/v (der 2. Summand ist 0, ein v kürzen)
fa''(x(Ea)) = [(e^x)*(x-a-1) + e^x]/(x-a)²
fa''(x(Ea)) = [(e^x)*(x-a]/(x-a)²
fa''(a+1) = (e^(a+1)) > 0 ! Es handelt sich um Minima!
Die Kurve, auf der alle Ea liegen, liegt bereits durch das Ergebnis
x(Ea) = a+1; y(Ea) = e^(a+1)
in Parameterdarstellung (Scharparameter a) vor.
Nun muss man den Parameter a eliminieren!
x = a+1; y = e^(a+1)
Bei y = e^(a+1) wird für (a+1) gleich x gesetzt und es ergibt sich für die Ortskurve aller Minima:
y = e^x
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 13., Januar. 2003 von mythos2002 editiert) |
