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Jezz (jezz)
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Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 12:31: | 
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Durch den Punkt P(2/4) werden Geraden gelegt, die die positive x.Achse im Punkt a und die positive y-Achse im Punkt B schneiden. Das Dreieck ABO rotiert um die x-Achse. Für welche Gerade wird das Volumen des Rotationskörper minimal?
Kann vielleicht irgendwer helfen? |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 319
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Januar, 2003 - 01:14: |
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Hi!
Dieselbe Frage nochmals in einem neuen Thread zu stellen (Doppelpostings), gehört zwar nicht zum guten Ton im Forum, aber offensichtlich gibt es hier doch einige Ungereimtheiten, und die Antwort war (und ist) auch nicht klar.
In der Antwort von Friedrich (die mit der Steigung k (k ist das Gleiche wie m) als Variable) ist zu beachten, dass von vornherein von einem negativen k ausgegangen wurde, das ist u. U. eine Fehlerquelle, denn unter anderen Voraussetzungen stimmt der Ansatz
y = 4 - (x-2)k
nämlich nicht ....
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind -2 bzw. 1, für k gilt dies nun umgekehrt.
k = 2 kommt als Lösung nicht in Frage, denn der Punkt A liegt in diesem Fall nicht auf der positiven x-Achse (die Steigung muss ja negativ sein)!
Somit lautet die Gerade y = -x + b, den Punkt P(2|4) einsetzen liefert: 2 + 4 = d, also ist das Ergebnis
y = -x + 6
Besser (und klarer) ist allerdings, den Ansatz k = (y - 4)/(x - 2) vorzunehmen, also y = k*(x - 2) + 4!
Das zutreffende k ergibt sich ohnehin automatisch als negativ ....
Der von dir beschriebene Weg, anstatt das Volumen des Kegels herkömmlich anzusetzen, die Gerade in den Grenzen von 0 bis -b/m rotieren zu lassen, ist zwar nicht die einfachste Methode, aber richtig und grundsätzlich auch durchführbar!
y = mx + b
b = 4 - 2m
y = mx + 4 - 2m
V = pi*Int[0;(-4+2m)/m][mx + 4 - 2m]²dx
Das Ausquadrieren, anschließende Integrieren und Einsetzen der Grenzen ist Routinearbeit und erfordert einigen Rechenaufwand. Danach ist ja auch noch die Extremwertberechnung durchzuführen.
Das Integral ist allerdings auch ohne Ausquadrieren berechenbar:
Int[mx + 4 - 2m]²dx = (1/m)*(1/3)*(mx + 4 - 2m)³
Der Faktor (1/m) ergibt sich aus der Division durch die innere Ableitung von z = (mx + 4 - 2m) nach der Substitutionsmethode.
Dann ist V = (pi/3)*(1/m)*(mx + 4 - 2m)³ [0;(-4+2m)/m] =
= pi*(4 - 2m)³/(3m) (bei der 2. Grenze ergibt sich 0)
Nun soll V ein Minimum werden (pi/3 weglassen):
f(m) = (4 - 2m)³/m
f '(m) = [3m*(4 - 2m)²*(-2) - (4 - 2m)³]/m² -> 0
(4 - 2m)²*(-6m - 4 + 2m) = 0
m1 = 2 (hier nicht möglich, sh. o)
-4m - 4 = 0
m2 = -1
=======
b = 4 - 2m = 6
Die Gerade lautet also y = - x + 6, das minimale Volumen des Kegels ist 72*pi E²
Eine andere Möglichkeit wäre es noch, die Gerade in der Abschnittsform anzusetzen:
x/c + y/d = 1 (c, d sind die Abschnitte auf den Koordinatenachsen).
Das Kegelvolumen (Hauptbedingung) ist V = d²*c*pi/3
Die Nebenbedingung: 2/c + 4/d = 1.
Die anschließende Extremwertberechnung liefert c = 6 und d = 6
Gr
mYthos
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Jezz (jezz)
Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Januar, 2003 - 08:23: |
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Danke, diese Lösung hat mir endlich weitergeholfen! |
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