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Palonina (palonina)
Neues Mitglied
Benutzername: palonina
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 11:14: | 
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Ich habe die Aufgabe, den Flächeninhalt eines Rechtecks zu maximieren, der dem 1. Viertel des Einheitskreises einbeschrieben ist.
Die obere rechte Ecke P(xo |f(xo) muss also auf der Kreislinie liegen. Wie formuliere ich diese Nebenbedingung? Die Funktion für den Kreis ist ja y = sqrt(1-x²). Aber irgendwie muss das auch mit sin x und cos gehen.
Könnt ihr mir da helfen?
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 317
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 13:10: |
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Hi,
nicht unbedingt ist dazu der Winkel nötig!
Die Nebenbedingung (NB) hast du ja bereits aufgeschrieben! Mit dieser gehst du in die Hauptbedingung:
A = x*y .. Max.
A = x*sqrt(1 - x²) | quadrieren, Extr. verändert sich dabei nicht
f(x) = x² - x^4
f '(x) = 2x - 4x³
f ''(x) = 2 - 12x²
f '(x) = 0 --> 2x*(1 - 2x²) = 0
x > 0 nur sinnvoll
2x² = 1
x = 1/sqrt(2) = (sqrt(2))/2
f ''(1/sqrt(2)) = 2 - 6 = -4 < 0 Maximum!
Aus NB: y² = 1 - 1/2 --> y = x = 1/sqrt(2) !!
Das maximale Rechteck ist ein Quadrat der Seitenlänge 1/sqrt(2) = (sqrt(2))/2
Dass dies mit den Winkelfunktionen auch geht - und das auch noch sehr elegant - zeige ich dir im nächsten Beitrag.
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 318
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 13:26: |
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Hi,
wie versprochen:
Die Diagonale des Rechteckes ist 1 (das ist ja der Kreisradius), der Winkel, den dieser mit der x-Achse einschliesst, sei a. Im rechtwinkeligen Dreieck x, y und 1 gelten nun die Definitionen der Winkelfunktionen:
cos(a) = x/1
sin(a) = y/1
-------------
x = 1*cos(a)
y = 1*sin(a)
-----------------------
A = x*y = sin(a)*cos(a)
Die (einzige) Variable ist nun a, nach dieser die Ableitung zu bilden ist.
Zunächst noch ein wenig umformen
(nach der Formel
sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)):
A(a) = (1/2)*sin(2a)
A'(a) = cos(2a)
A''(a) = - 2sin(2a) < 0 für alle a < 90° -> Max.!
A'(a) = cos(2a) = 0
2a = 90°
-> a = 45°
------------
sin(a) = cos(a) = (sqrt(2))/2
-> x = y = (sqrt(2))/2
A = (1/sqrt(2))² = 1/2
=======================
Gr
mYthos
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Palonina (palonina)
Neues Mitglied
Benutzername: palonina
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 06:22: |
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Vielen Dank für Deine Hilfe!
Ich hatte auf der Suche nach der Extremstelle nicht daran gedacht, dass der Sinus eine Winkelfunktion ist und eine Nullstelle bei 90° hat. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 327
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Januar, 2003 - 08:28: |
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Die Nullstelle bei 90° ist die vom Cosinus! |
