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Miriam Meier (jackruss)
Neues Mitglied
Benutzername: jackruss
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 21:51: | 
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Allohahe,
irgendwie bin ich matheunf$BgI(Big...
folgende aufgabe muss ich bis montag berechnet haben: Jg 13 P-Kurs
Aufg.1) Der Graph der Funktion f(x) = (4e^x)/(2+e^x) wird an der Geraden mit der Gleichung X= ln2 gespiegelt. Wie lautet die Funktions-Gleichung des gespiegelten Graphen??
Aufg.2) gegeben sei nun die Funktion h mit
h(x) = 1/f(x) = (2+e^x)/(4e^x) = 1/(2e^x) + 1/4
Unter welchem Winkel alpha schneidet die Tangente im Punkt T (ln2/h(ln2)) die x-Achse?
w$BgS(Be gut, wenn ich komplette arbeitsschritte erhalten k$B‹O(Bnte.
vielen dank!! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 835
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 11:13: |
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1)
für die x-Werte x* der gespiegelten Punkte
gilt
(x* + x) / 2 = X
<==>
x = 2X - x*
und für die Funktionswerte
gilt
f(x*) = f(x)
somit
für die gespiegelte Funktion f*(x)
f*(x) = f(2X - x)
f*(x) = (4*e2X - x)/(2+e2X - x)
oder,
erweitert mit ex,
f*(x) = (4*e2X)/(2*ex+e2X)
und
da X = ln2, also e2X = 2²=4
f*(x) = (16/(2*ex+4)
f*(x) = 8/(ex+2)
2) h(x) kann weiterhin umgeformt werden
zu
h(x) = e-x/2 + 1/4
somit
h'(x) = -e-x/2, h'(ln2) = -1/4 = tangens des Schnittwinkels,
Schnittwinkel etwa " -14°2'10,48" " ( arcus tangens von -0,25 )
also
im Gegenuhrzeigersinn von der x-Achse aus
gemessen
180° - 14°2'10,48" = 165°57°49,52"
N.S.: Bitte, sieh Dir
formatieren
an.
(Beitrag nachträglich am 11., Januar. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1932
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 12:04: |
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Hi Friedrich,
Mein Kompliment !
Du bist mir um einige Minuten mit Deinen Berechnung zuvorgekommen!
Ich war zu lange in Haus und Hof beschäftigt und konnte deshalb nicht
Schritt halten! Tant pis !
Hauptsache: unsere beiden Resultate stimmen völlig überein,
und das ist gut so.
Eine Anregung:
Es ist reizvoll, mit einem der Programme (MAPLE, DERIVE,…)
die drei Kurven
f:= 4 e^x / (2 + e^x) ; x = ln 2 und h (x) = 8 / ( 2 + e^x )
im gleichen Koordinatensystem aufzeichnen zu lassen, etwa für
das x- Intervall - 6 + ln 2 < = x < = 6 + ln 2
Die Lösung einer Aufgabe auch einzusehen und meditativ zu betrachten
ist ganz im Sinne der Methodik von Georg Polya, den Du so oft zitierst.
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser, megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1933
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 13:59: |
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Hi,
Die von Miriam Meier vorgelegte Aufgabe ist so schön, dass es schade wäre,
sie wohl gelöst, aber unbesehen ad acta zu legen..
Man sollte in einer Aufgabe immer auch die Aesthetik erkennen,
mit der der Aufgabensteller uns Freude bereiten wollte;
auch dies ist ganz im Sinne von Georg Polya.
Warum wohl soll die Kurve gerade an der Geraden x = ln 2
gespiegelt werde?
Warum wohl wird im zweiten Teil der Aufgabe verlangt,
dass die Steigung im Schnittpunkt T der Kurve mit der
Spiegelungsachse berechnet werden soll?
Eine Antwort darauf lautet:
Der Punkt T ist der Wendepunkt der Bildkurve der
gegebene Funktion y =f(x).
Die Ableitungen dieser Funktion lauten nämlich:
f´(x) = 8* e ^ x / ( 2 + e ^ x ) ^ 2
f´´(x) = 8 e ^ x * ( 2 - e ^ x ) / (2 + e^x ) ^ 3
f ´´(x) ist null für x = ln 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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