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Beitrag |
    
Jezz (jezz)
Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 13:09: | 
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Der Kreis mit der Gleichung (x-4)²+(y-3)²=1 rotiere um die x-Achse. Berechnen Sie seinen Rauminhalt!
Danke im voraus! |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 342
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 13:21: |
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Hi Jezz,
das kannste mit der Guldin'schen Regel abkürzen:
V = 2R*pi*r^2*pi | R = 3, r = 1
V = 2*3*pi*1^2*pi = 6*pi^2
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 827
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 13:25: |
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Guldinsche Regel
V = WegDesSchwerpunktes * RotierendeFläche.
Da
der Schwerpunkt bei (4; 3) = Kreismittepunkt liegt, von der
x-Achse also den Abstand 3 hat
und
der Radius der Fläche 1 ist
gilt
V = (2*3*pi)*(1²*pi)
im
allgemeinen müßte man allerdings auch noch überprüfen, ob die Rotationsachse die Rotierende Fläche nicht schneidet - hier schneidet sie nicht.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 257
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 15:25: |
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Ich habe da ein anderen Ansatz:
wenn ein Kreis mit Mittelpunkt, der nicht auf der Rotationsachse ligt, um die Rotationsachse rotiert, dann entsteht als Rotationskörper ein Torus mit dem Volumen V.
Für das Volumen des Toruses ist einfach zu berechnen. Und ich komme auf
V=4Pi
und nicht auf euer Ergebnis!
Bitte um Überprüfung meiner Überlegungen:
N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 258
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Januar, 2003 - 15:35: |
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Komando zurück,
ihr habt recht, mann braucht aber wie gesagt nicht Guldin, sondern kann auch das Torusvolumen nehmen. Die Herleitung vom Torusvolumen ist elementar möglich, Guldin aber nicht.
also V=6(pi)² richtig!!!
Gruß N. |
Jezz (jezz)
Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 07:52: |
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Danke für die Antwort!
Die Guldinsche Regel hatten wir leider noch nicht!
Wir rechne ich das ganze auf normalem Weg, sprich mit der Formel für Rotationskörper, aus? |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 12:53: |
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Hi jezz,
die Aufgabe mit der Formel zum Rotationsfolumen zu berechnen ist kompliziert. Aber ich will versuchen es dir zu erklären.
Als erstes mal schauen wir uns mal die Kriesgleichung an:
k;(x-4)²+(y-3)²=1
und erkennen, das dies keine Funktionsgleichung ist, mit der wir arbeiten können. Generell kann man Kreise nicht als Funktioen darstellen. Wir können dafür aber kreisteile als Funktion darstellen, nähmlich Hallbkriese!
y=+-sqrt(1-(x-4)²)+3
aus diesen Gleichungen kann man sich ein Kreis zusammensetzen. Dabei beschreibt
+sqrt(1-(x-4)²)+3 den oberen und
-sqrt(1-(x-4)²)+3 den unteren Halbkreis.
Nun gibt es 2 Möglichkeiten.
Möglichkeit 1:
wir berechnen direkt das Rotationsvolummen indem wir das Rotationsvolumen zwischen
f(x)=+sqrt(1-(x-4)²)+3 und g(x)=-sqrt(1-(x-4)²)+3
berechnen. Es entsteht wie gesagt ein Torus
oder die 2 Möglichkeit:
wir bestimmten das Rotationsvolumen zwischen
f(x)=+sqrt(1-(x-4)²)+3 und g(x)=3, lassen also nur den oberen Halbkries roteieren
erhalten dann aber auch bei der Rotation den halben Torus
müssen also am ende noch das Volumen verdoppeln!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 260
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 13:48: |
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und hier die Rechnung zu Möglichkeit 1:
Gruß N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 262
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 17:27: |
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hmmmm,
ich merke gerade, dass Möglichkeit 2 entfällt. Jedenfalls bekomme ich 4\greek(p}/3 Volumen mehr raus als gewünschte 3p² . Ich weis aber nicht woher dieser kleine Teil mehr an Volumen her rührt. Von der Form her sieht es nach irgend ein Kugelvolumen aus. Ich finde aber nicht den Fehler....
Naja, Methode 1 Funktioniert ja zum Grlück!
Gruß N.
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 263
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 17:32: |
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hmmmm,
ich merke gerade, dass Möglichkeit 2 entfällt. Jedenfalls bekomme ich 4p/3 Volumen mehr raus als gewünschte 3p² . Ich weis aber nicht woher dieser kleine Teil mehr an Volumen her rührt. Von der Form her sieht es nach irgend ein Kugelvolumen aus. Ich finde aber nicht den Fehler....
Naja, Methode 1 Funktioniert ja zum Grlück!
Gruß N.
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Jezz (jezz)
Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Januar, 2003 - 08:27: |
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Zunächst einmal danke für die Lösung! Nur leider haben wir noch nie etwas mit arcsin gemacht.. kann man das nicht auch ohne arcsin lösen? |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 265
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Januar, 2003 - 09:36: |
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Hi jezz,
tut mir leid, aber an dem arcsin kommst du nicht vorbei!
Wenn du solche Aufgaben lösen willst, solltest du dir einmal die Herleitung der Stammfunktion des Kreisintegral anschauen. Sie ist absolut notwendig. Auserdem lifert ja der arcsin das 2. p damait nacher p² am ende bekommt.
Gruß N. |
