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Jezz (jezz)
Junior Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 14:26: | 
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a) Der Graph der Funktion f zu f(x) = sqrt (x³) rotiere um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers über dem Intervall [0;4]!
V(x)= pi * Integral von 0 bis 4 (sqrt (x³))² dx.
V= 201,1
b) Dem Rotationskörper wird ein Zylinder einbeschrieben, dessen Achse die x-Achse ist (was heißt das?). Welche Maßzahlen müssen der Radius und die Höhe des Zylinders annehmen, damit das Volumen des Zylinders ein absolutes Maximum hat?
Ich habe angenommen, dass „dessen Achse die x-Achse ist“ heißt, dass die Höhe des Zylinders auf der x-Achse liegt.
Für das Zylindervolumen gilt: pi*r²*h
h wäre 4-x
dem Radius entspräche der zugehörige y-Wert, also sqrt (x³).
So erhält man die Formel:
(4-x)*pi* (sqrt (x³))²= f(x)
= 4pi*x³- pi*x^4
f’(x)= 12*pi*x²-4*pi*x³
Als Nullstelle gab mir der TI-83 x=3 an.
Die Höhe wäre somit 1, der Radius 5,2.
Ist das richtig? Brauche ganz schnell Antwort!!
Danke im voraus! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 310
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 23:56: |
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Hi,
den TI-83 solltest du nur als Unterstützung zum gewöhnlichen Rechnen benutzen! Die Nullstelle solltest du - schon des Lerneffektes wegen - unbedingt selber berechnen!
Überhaupt, da deine bisherigen Überlegungen bis dahin allesamt richtig waren!!
Es ist also f '(x) = 4*pi* (3x² - x³) = 0
4*pi sind als Konstante (ungleich Null) zu faktorisieren und können, da nicht 0, weggelassen werden, nun
3x² - x³ = 0, daraus x² faktorisieren ->
x²*(3 - x) = 0 -> jeden Faktor Null setzen:
x1,2 = 0; x3 = 3
Wenn x = 0, wäre der Radius y des Zylinders 0, diese Lösung scheiden wir aus (entarteter Zylinder, V = 0, kein Extremum, denn die 2. Ableitung ist dort auch 0).
(Der Taschenrechner hat dir nebenbei die Nullstellen x = 0 unterschlagen! Soviel zum Verlass auf Ergebnisse des Taschenrechners, die man nicht kontrolliert!)
Also ist x = 3, die Höhe 1, der Radius sqrt(27).
Das absolute Maximum ist hier gleich dem relativen Maximum. Um es zu zeigen, muss noch die 2. Ableitung an der Stelle x = 3 überprüft werden, deren Wert muss bei einem Maximum < 0 werden:
f '(x) = 4*pi*(3x² - x³)
f ''(x) = 4*pi*(6x - 3x²)
f ''(3) = 4*pi*(18 - 27) < 0 Maximum!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 09., Januar. 2003 von mythos2002 editiert) |
Jezz (jezz)
Junior Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 16:18: |
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Danke für die Antwort! |
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