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elsa (elsa13)
Neues Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 15:33: | 
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Hi an alle Interessierten und Wissenden!
Ich habe eine grundsätzliche Frage zur Nomenklatur:
Was ist eine Ebenenschar,
was ist ein Ebenenbüschel?
Danke im Voraus!
Elsa
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 204
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 15:50: |
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hm,
ich hab das so gelernt:
Eine Ebenenschar ist eine Ebene mit einem Parameter,
z.b.:
ax+(2a^2)y-(a/3)z=12+a
Gegeben seien die Ebenen E1 (n*x-c) und E2 (n'*x-c')
wobei n nicht kollinear zu n'. Die Menge der Ebenen, die durch die Schnittgerade von E1 und E2 gehen, heißen Ebenenbüschel mit den Trägerebenen E1 und E2.
z.B. ist die Ebenenschar Ek: kx + y + 2z - 5 = 0 , k € IR ein Ebenenbüschel.
mfg
tl198
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1929
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 16:49: |
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Hi Elsa,
Ich versuche, Deine Frage in einem ersten Umgang so
zu beantworten,dass die Anschauung nicht zu kurz
kommt.
Hier mein Versuch:
( I )
Unter einer Ebenenschar versteht man eine Gesamtheit von
Ebenen, die durch eine bestimmte Vorschrift erzeugt werden.
Der Begriff Ebenenschar ist sehr allgemein und
enthält denjenigen des Ebenenbüschels als Sonderfall.
Beispiele von Ebenenscharen.
Alle Tangentialebenen einer gegebenen Kugel bilden eine
Ebenenschar.
Alle Tangentialebenen an eine Kugel, die durch einen
gegebenen Punkt ausserhalb der Kugel gehen, bilden
ebenfalls eine Ebenenschar.
(II)
Unter einem Ebenenbüschel verstehen wir die Gesamtheit
aller Ebenen, die durch eine gegebene Gerade g gehen;
g heisst Achse des Büschels.
Eine einzelne Ebene eines Büschels kann z.B. durch die
Bedingung gegeben werden, dass die Ebene durch einen Punkt P,
der nicht auf g liegt, geht.
Erfasst man die Ebenen des Büschels durch eine lineare
Gleichung, so tritt neben den Variablen x ,y ,z genau ein
unabhängiger Parameter a auf.
Das Ebenenbüschel ist eine spezielle einparametrige Ebenenschar,
mit dem Freiheitsgrad 1, wie man sagt
Beispiele für Ebenenbüschel:
Eine Ebene E sei gegeben und g sei eine dazu senkrechte Gerade
Alle Ebenen F, die zu E senkrecht stehen und durch g gehen, bilden
ein Ebenenbüschel mit g als Achse.
(Hingegen bildet die Gesamtheit aller Ebenen, die senkrecht zu E
sind, kein Ebenenbüschel, sondern eine Ebenenschar).
Es seien zwei Ebenen E1 und E2 gegeben, die sich in der Geraden s schneiden sowie ein beliebiger Punkt U.
Die Menge aller Ebenen, die durch U gehen und zu s parallel sind,
bilden ein Ebenenbüschel mit der Parallelen p durch U zu s als Achse.
Zum Abschluss soll noch je ein Beispiel für eine Ebeneschar und ein Ebenenbüschel, gegeben durch Koordinatengleichungen gezeigt werden.
1)
Die Gleichung x / a + y / b + z / 13 = 1
(a und b sind voneinander unabhängige Parameter)
stellt eine (zweiparametrige) Ebenenschar dar
Eine Ebene der Schar geht durch den Punkt A(a/0/0), der auf der
x-Achse beweglich ist und durch den Punkte B(0/b/0), der auf der
y-Achse beweglich ist und durch den festen Punkt C(0/0/13) auf der z-Achse.
2)
Die Gleichung x / a + y / 6 + z / 13 = 1
(a ist ein Parameter) stellt ein Ebenenbüschel dar.
Eine Ebene des Büschels geht durch den Punkt A(a/0/0), der auf der x-Achse beweglich ist und durch die festen Punkte B(0/6/0) auf der y-Achse und C(0/0/13) auf der z-Achse.
Die Gerade BC ist die Büschelachse.
3) Ein schwieriges Beispiel
Die einparametrige Ebenenschar x / 1 + y / p + z / (1-p) = 1
mit p als Parameter umhüllt, wie man zeigen kann, die Rotationskegelfläche
x^2+y^2+z^2+2 x y+2 x z –2 z x –2 y z –2 x –2 y -2 z + 1=0
Die Schar besteht somit aus der Menge aller Tangentialebenen
eines Kegels.
Dies sollte vorderhand genügen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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elsa (elsa13)
Neues Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 15:52: |
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Danke, megamath,
das war sehr förderlich für die Anschauung!
Liebe Grüße
elsa |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 307
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 21:31: |
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Hallo elsa,
eine Ebenenschar ist ganz allgemein eine Gesamtheit von Ebenen, deren Funktionsgleichungen bis auf einen (oder mehrere) Parameter (ti <> 0 und reell) bestimmt sind (ein- oder mehrparametrige Schar):
Beispiel 1: (Parameter t):
Et: (6/t)*x + 3y + 8tz = 12
Dabei ist primär nicht eine bestimmte geometrische Gemeinsamkeit (Ebenen durch Gerade oder Punkt, usw.) entscheidend (man geht also primär nicht von geometrischen Gegebenheiten aus), sondern die Ebenen entstehen einfach durch Variation des Parameters.
Wenn man in obigem Beispiel für t einige Zahlen einsetzt, so ergeben sich bestimmte Ebenen, denen man aber meistens nicht ansieht, ob sie einem Büschel (Ebenen gehen alle durch eine Gerade) angehören oder sonstwie eine gemeinsame geometrische Eigenschaft besitzen.
E_(1/4): 24x + 3y + 2z = 12
E_(1/2): 12x + 3y + 4z = 12
..
Bemerkung: Bei zwei Parametern könnten die Ebenen einem Bündel (Ebenen gehen alle durch einen Punkt) angehören.
Beispiel 2: (Parameter a):
Die Ebenenschar
Ea: (a² - 1)*x + 4y + 4a²*z = 4(a² - 1)
besitzt eine gemeinsame Gerade. Wie lautet sie?
Hinweis: Zwei verschiedene ai einsetzen, dann subtrahieren und vereinfachen:
(a1² - 1)*x + 4y + 4a1²*z = 4(a1² - 1)
(a2² - 1)*x + 4y + 4a2²*z = 4(a2² - 1)|-
-----------------------------------------
Bei der Lösung dieses Systemes ist infolge des Fehlens einer Gleichung eine der Variablen durch einen weiteren Parameter t (mit diesem ist dann der Richtungsvektor der Lösungsgeraden behaftet) auszudrücken.
y = t (o.B.d.A.)
------
(a1² - a2²)*x + 4*(a1² - a2²)*z = 4*(a1² - a2²)| : (a1² - a2²) <> 0
x + 4z = 4
x = 4 - 4z
-----------
a1²*(4 - 4z) - 4 + 4z + 4y + 4a1²z = 4a1² - 4
4a1² - 4a1²z - 4 + 4z + 4t + 4a1²z = 4a1² - 4
4z + 4t = 0
z = -t; -> x = 4 + 4t
----------------------
Die Gerade lautet: X = (4;0;0) + t*(4;1;-1)
Beispiel 3:
Eine klassische Ebenenschar ist die Gesamtheit aller zu einer gegebenen Ebene parallelen Ebenen:
Et: 4x - 5y + 3z = t
Bei der Variation von t bleibt bei allen Ebenen der Normalvektor (4;-5;3) erhalten, folglich sind alle Ebenen zueinander parallel.
**************
Der umgekehrte Weg ist der Aufbau von Ebenenscharen von gegebenen geometrischen Voraussetzungen ausgehend, wie z.B bei Ebenenbüscheln oder -Bündeln.
Wissenswertes über Büschel:
Zwei erzeugende, sich in einer Geraden g schneidende Ebenen E1, E2 eines Büschels seien:
E1: a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4 = 0
E2: b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4 = 0
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Dann lautet jede weitere Ebene des Büschels:
E_(t1;t2): t1*E1 + t2*E2 = 0; (t1;t2)€ {RxR\(0;0)}
Man sieht leicht, dass die Lösungsmenge des durch E1 und E2 bestimmten Gleichungssystemes (lGS) gleichzeitig auch E_(t1;t2) befriedigt, also alle Ebenen E_(t1;t2) durch die von den beiden Ebenen E1, E2 bestimmte Schnittgerade gehen.
Man kann noch durch einen der Parameter (t1) dividieren und es ist dann auch:
Em: E1 + m*E2 = 0; m = t2/t1 (Parameter m) ... einparametrige Schar!
Wissenswertes über Bündel:
Drei sich in einem Punkt S schneidende Ebenen E1, E2, E3 eines Bündels seien:
E1: a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4 = 0
E2: b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4 = 0
E3: c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4 = 0
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Die Koeffizientenmatrix des lGS hat den Rang 3 (die zugehörige (3,3) - Determinante ist <> 0!)
Dann lautet jede weitere Ebene des Bündels:
E_(t1;t2;t3): t1*E1 + t2*E2 + t3*E3 = 0; (t1;t2;t3)€ {RxRxR\(0;0;0)}
Man sieht auch hier, dass die Lösungsmenge des durch E1, E2 und E3 bestimmten Gleichungssystemes (lGS) gleichzeitig auch E_(t1;t2;t3) befriedigt, also alle Ebenen E_(t1;t2;t3) durch den von den drei Ebenen E1, E2 und E3 bestimmten Schnittpunkt S gehen.
Man kann noch durch einen der Parameter (t1) dividieren und es ist dann auch:
E_(m,n): E1 + m*E2 + n*E3 = 0; m = t2/t1, n = t3/t1 (Parameter m, n) ... zweiparametrige Schar!
lG
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1930
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 08:59: |
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Hi mythos,
Ich danke Dir für Deinen Beitrag zur Beantwortung der Fragen von Elsa.
Er bildet eine hervorragende Ergänzung zu meiner eigenen Arbeit zum
gleichen Thema.
Hoffentlich profitieren möglichst viele geneigte Leser von dieser Arbeit.
Mit freundlichen Grüssen nach Wien.
Hans Rudolf
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