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Anna (ullimay)
Neues Mitglied
Benutzername: ullimay
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 12:22: | 
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Ich plag mich schon stundenlang mit folgender Aufgabe:
Approximiere f bei x0 durch ein polynom n-ten Grades!
f: y = sinx , x0 = pi/2, n = 2
Ich hoffe, jemand kann mir helfen und mir den richtigen lösungsweg schritt für schritt aufschreiben. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 203
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 14:23: |
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meinst du die taylorreihe?
das geht so:
sei f:I -> eine (n+1)mal stetig differenzierbare funktion und a € I, dann gilt für alle x € I :
f(x)=f(a)+((f'(a)/1!)*(x-a))+((f''(a)/2!)(x-a)^2)+ ...
der rest interesiert hier nicht da du nur eine funktion 2ten Grades suchst! wir suchen also die taylor reihe von sin x im punkt pi/2 vom grad 2.
dann einfach losrechnen:
f(pi/2)=1
f'(pi/2)=0
f''(pi/2)=-1
einsetzenm liefert:
f(x)=f(a)+((f'(a)/1!)*(x-a))+((f''(a)/2!)(x-a)^2)
f(x)=1+(0/1!*(x-pi/2))+((-1/2!)*(x-pi/2)^2)
ausrechnen liefert:
f(x)=-0,5*(x^2-(pi*x)+((pi^2)/4))+1
voila!, schau dir die funktion im funktionenplotter mal an!
mfg
tl198 |
Anna (ullimay)
Neues Mitglied
Benutzername: ullimay
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 11:11: |
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danke!
Im Lösungsheft steht:
y=-x²/2 + pix/2 - pi²/8+1
stimmt dieses ergebnis mit deinem überein? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 210
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 12:22: |
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natürlich! du musst bei
-0,5*(x^2-(pi*x)+((pi^2)/4))+1
einfach die klammer uaflösen und erhälst:
-(x^2/2)+(pi*x/2)-(pi^2/8)+1
mfg |
Anna (ullimay)
Neues Mitglied
Benutzername: ullimay
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 11:35: |
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Ok! Jetzt hab ich's. Aber wenn ich diese lösungsmethode bei folgendem beispiel anwende, kommt bei mir 1 - 1/2*x^2 + 1/4*x^4, aber im lösungsheft steht statt 1/4*x^4 --> 1/24*x^4.
Was mach ich falsch?? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 215
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 13:36: |
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hi,
Aber wenn ich diese lösungsmethode bei folgendem beispiel anwende
welches andere beispiel, sag es mir und ich schau es mir an!
mfg} |
Anna (ullimay)
Junior Mitglied
Benutzername: ullimay
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 13:40: |
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Ui.. da dürfte was nicht hingehauen haben beim einfügen. Ok, hier ist die aufgabe:
Approximiere f bei x0 durch ein Polynom n-ten grades!
f: y = cosx , x0 = 0 , n = 4
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 216
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 16:25: |
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aha,
ich sehe das problem:
du willst hier die besondere Form der Taylorreihe entwickeln, die Mac-Laurin Reihe. Es ist die Taylorreihe im Entwicklungspunkt x=0!
für sie gilt:
f(x)=f(0)+((x/1!)*f'(0))+((x^2/2!)*f''(0))...
für den cosinus ergibt sich also als polynom 4ten grades die formel:
f(x)=(x^4/4!)-(x^2/2!)+1
dies ist die richtige lösung, schau sie dir im plotter an! nur deine lösung schaut richtig aus nur du hast die FAKULTÄT vergessen!!
deine lösung:
1 - 1/2*x^2 + 1/4*x^4
es muss heißen:
1- (1/2!)*x^2 + (1/4!)*x^4
und wenn du nun weißt das 2!=2 und 4!=24 ist, ist wohl alles klar! bei fragen melde dich!
mfg
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