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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 17:03: | 
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Wie fange ich bei der Aufgabe an???
4. In einem Rotationskegel vom Radius r und der Höhe h soll ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden. Berechnen Sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders und geben Sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es ausmacht? Zum Aufstellen der Nebenbedingung benutzen Sie bitte einen der Strahlensätze.
Hier weiß ich noch nicht mal, wie ich anfangen soll. Was soll die Nebenbedingung überhaupt sein und wie stelle ich zwei Gleichungen auf???
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 305
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 23:56: |
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Hi,
der dem Kegel (r, h) eingeschrieben Zylinder habe den Radius x und die Höhe y; sein Volumen, welches maximal werden soll, ist
V = x²*y*pi .. Hauptbedingung (HB)
Die obere Deckkreisebene des Zylinders begrenzt nach oben zur Spitze des Kegels hin einen kleineren Kegel (kleine Höhe = h-y), der ähnlich dem großen Kegel ist, das gilt auch für die Dreiecke, die sich im Achsenschnitt ergeben.
Somit gilt (wegen Strahlenstz bzw. Ähnlichkeit)
r : h = x : (h-y) .. Nebenbedingung (NB)
rh - ry = hx
y = (h/r)*(r-x), diese NB in V einsetzen:
V = x²*pi*(h/r)*(r-x), jetzt ist nur noch die Variable x im Spiel! pi und h/r sind als Konstante wegzulassen:
f(x) = x²*(r - x) = rx² - x³
f '(x) = 2rx - 3x²
f ''(x) = 2r - 6x
f '(x) = 0 -> x*(2r - 3x) = 0
(als Radius ist x > 0)
2r - 3x = 0
x = 2r/3
=========
Aus NB: y = (h/r)*(r - x) = (h/r)*r/3 = h/3
Mittels der 2. Ableitung das Extremum prüfen:
f ''(2r/3) = 2r - 4r = -2r < 0, Maximum!
Volumen des Kegels: Vk = r²*pi*h/3
Volumen des Zylinders: Vz = 4r²*(pi/9)*(h/3) = 4r²*pi*h/27
Vz/Vk = 4/9
(nach Kürzen durch r²*pi*h), also ist das Volumen des Zylinders 4/9 des Volumens des Kegels.
Gr
mYthos
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Donie (Donie)
Neues Mitglied
Benutzername: Donie
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2012
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2012 - 14:40: |
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wie fange ich mit der aufgabe denn an.?
ein rechteckiges dreieck mit den katheten 4cm und 8cm rotiert einmal um die längere und einmal um die kürzere Kathete, so dass Rotationskegel enstehen. Wie verhalten sich Volumen der gedachten Kegel zueinander?
bitte helft mir ich verstehs einfach nicht |
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