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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 17:01: | 
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Hi!!!
Bitte, bitte Hilfe bei Asymptoten!!!
1. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Polstellen und Aymptoten.
A) f: x (2x-5)/(x-3)
b) f: x (x²-5x)/(x-4)
zu a) Berechnen Sie noch zusätzlich den Funktionswert f(0).
Zu b) Das Auffinden der Asymptote ist sehr schwierig. Ergänzer Sie im Zähler eine Zahl ?b so, dass eine Zerlegung der Form (x+a)(x-4)+b möglich ist.
a) Polstelle = 3, weil dann der Nenner 0 wird.
Nullstelle = 2,5, weil dann der Zähler 0 wird.
Aber wie finde ich die Asymptote???
b) Polstelle = 4, weil dann der Nenner 0 wird
Nullstelle = 5, weil dann der Zähler 0 wird
Asymptote???
3. Bestimmen Sie eine Funktion der Form f: x ax²+bx²+cx+d die im Punkt (-1|6) einen Hochpunkt und in (0|4) einen Wendepunkt hat.
Also ich weiß, dass die vier Bedingungen lauten:
- H(-1|6) ist Kurvenpunkt
- H(-1|6) ist Hochpunkt
- W(0|4) ist Kurvenpunkt
- W(0|4) ist Wendepunkt
Für Wendepunkte gilt: f´´(x) = 0, also 6ax + 2b =0
Für Hochpunkt gilt: f`(x) = 0, also f´(x) = 3ax²+2bx+c=0
Aber wie berücksichtige ich, dass die beiden Punkte auch Kurvenpunkte sind. Wie so komme ich ja noch nicht auf ein Ergebnis???
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 808
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 11:21: |
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1) Zur Bestimmung von Asymptoten einer Funktion f(x) = z(x)/n(x) mach eine Polynomdivision;
dann
läßt sich die Funktion darstellen wie
folgt:
f(x) = q(x) + r(x)/n(x) ; q ist der Quotient, r der Rest,
der
Grad von r(x) ( die höchste Potenz, in der x vorkommt ) muß kleiner als der von n(x) sein.
Wenn
q(x) = a*x + b dann ist q(x) die Asymptote, denn der lim|x|->oor(x)/n(x) ist 0 .
Wenn
q(x) keine lineare Funktion ist ( also x² oder noch höhere Potenzen enthält )
dann
gibt es außer der senkrechten Asymptote(n) an( den) Polstelle(n) keine Asymptoten.
2) Schreib die Gleichungen für die Kurvenpunkte und Ableitungen mit den gebebenen Zahlenwerten
als z.B.
für
(-1 | 6)
f(-1) = 6 = a*(-1)^3 + b*(-1)² + c*(-1)+ d
f'(-1)= 0 = 3a*(-1)^2+2b*(-1) + c
u.s.w.
(mit den weiteren 2 Bedingungen gibt das 4 lineare Gleichungen für die 4
die 4 Unbekannten
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 14:45: |
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Hey!
zu 1a) Ist dann die Asymptote y=2 ???
zu 1b) Bei diesem Beispiel weiß cih überhaupt nicht, wie ich weiterkommen soll. Wie komme ich überhaupt bis zu der Glecihung (x+a)(x-4)+b (siehe Aufgabenstellung). Kannst Du mir das bitte mal an diesem Beispiel zeigen???
zu 2.
Also:
f(-1)=6=a*(-1)^3 + b*(-1)²+c*(-1)+d
=-a+b-c+d
f´(-1)=0=3a*(-1)²2b*(-1)+c
=3a-2b+c
f(0)=4=a*0^3+b*0²+c*0+d
=d
f´´(0)=0=6a*0+2b=0
b=0
Also folgt daraus, dass b=0 ist und dass d=4 ist.
Dann lautet die allgemeine Gleichung vorerst:
ax^3+cx+d=0
Aber wie berechne ich jetzt a und c??? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 810
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 17:38: |
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a)
x*(2x-5)/(x-3) = (2x²-5x) : (x-3) = 2x + 1 + 3/(x-3); die Asymptote ist y = 2x+1
b) wenn die Angabe x*(x^2 - 5x)/(x-4) stimmt HAT DIESE FUNKTION NUR DIE POSTELLEN ASYMPTOTE .
2)
f = ax³+bx²+cx+d
f'= 3ax²+2bx+c
f"= 6ax+2b
| | | f(-1) | =6: | -a | + b | + c | + d | = 6 | | f'(-1) | =0: | 3a | -2b | + c | | = 0; f"(-1) < 0 ok | | f(0) | = 4: | | | | d | = 4 | | f"(0) | = 0: | | 2b | | | = 0 | |
also d=4, b=0,
| | | -a | + c | = 2 | | 4a = -6 | | 3a | + c | =-4 | | a = -3/2 | c = 1/2 | |
f(x) = -3x³/2 + x/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 15:11: |
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zu 1a)
Die Funktion heißt aber: f(x): (2x-5)/(x-3)
zu 1b)
Die Funktion heißt: f(x): (x^2-5x)/(x-4)
War bei diesen beiden mein Fehler, weil ich bei der Aufgabenstellung die Klammern um das x vergessen habe. Tut mir leid!!! Kannst Du mir trotzdem nochmal helfen???
zu 2.
Dann heißt die Gleichung der Funktion doch f(x)= -3x³/2 + x/2 + 4, weil d doch gleich 4 ist, oder??? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 813
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 16:11: |
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zu 2, ja entschuldige, das d hab ich vergessen
zu 1 sage ich immer noch:
bestimme die (nicht-Polstellen-)Asymptote durch POLYNOMDIVISION
daher
a)
(2x-5) : (x-3) = 2
-2x+6
=0x+1 Rest
==>
f(x) = 2 + 1/(x-3); lim|x|->oof(x)=2
==>
Asymptote y=2
b)
(x²-5x) : (x-4) = x - 1
-x²+4x
=0x²-x
+ x + 4
= 0x - 4 Rest
==> f(x) = x - 1 - 4/(x-4) lim|x|->oof(x) = x-1
==>
Asymptote y = x - 1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian (cherio)
Neues Mitglied
Benutzername: cherio
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 22:43: |
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Zu 1 a):
f(x)= (2x-5) : (x-3)= 2 + 1/(x-3)
-(2x-6)
--------
1 <--- Rest
lim von f(x) wenn x gegen + unendlich = 2
, da 1/(x-3) gegen Null geht.
lim von f(x) wenn x gegen - unendlich = 2
, da 1/(x-3) gegen Null geht.
--> Asymptotengleichung: y = 2
Zu 1 b):
f(x)= (x²-5x) : (x-4) = x - 1 + 4/(x-4)
-(x²-4x)
--------
-1x
-(-x+4)
-------
4 <--- Rest
lim von f(x) wenn x gegen + unendlich = x-1
, da 4/(x-4) gegen Null geht.
lim von f(x) wenn x gegen - unendlich = x-1
, da 4/(x-4) gegen Null geht.
--> Asymptotengleichung: y = x-1
Polstellen durch Nullsetzen des Nenners:
1 a)
x-3=0 <=> x=3 --> Polstelle bei x=3,
mit Vorzeichenwechsel, da x nicht mit geradem Exponenten potenziert.
1 b)
x-4=0 <=> x=4 --> Polstelle bei x=4,
mit Vorzeichenwechsel, da x nicht mit geradem Exponentem potenziert.
Nullstellen führ ich jetzt nicht weiter aus...
Zu 2)
Dass Punkte auf einem Graphen liegen formulierst du folgendermaßen:
zB.: P(1/2) sei Element des Graphen (liegt auf ihm). Dann schreibst du: f(1)=2 , damit der Punkt auf einem Graphen liegt, weil die Funktion nämlich an der gegebenen x-Stelle den gegebenen Funktionswert y haben muss.
Ciao Christian |
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