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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 16:59: | 
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Hallo!
5. Beweisen Sie: Für jede ganzrationale Funktion 2. Grades ist die Stelle a des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung der Mittelpunkt des gewählten Intervalls.
Wie komme ich hier überhaupt auf eine Gleichung, die ich dann beweisen kann.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:
Es sei für x1 < x2 eine auf dem abgeschlossenen Intervall [x1,x2] stetige und in dem offenen Intervall ]x1,x2[ differenzierbare ?Funktion. Dann gibt es im offenen Intervall ]x1,x2] mindestens eine Stelle a, für die gilt:
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = f´(a)
Und dann? Was soll ich genau beweisen???
Bitte erstmal einen Denk- bzw. Lösungsansatz!!!
Danke!!! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1927
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 07:57: |
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Hi Nicole,
Ich sende Dir hier den gewünschten Denkansatz,
was immer darunter zu verstehen ist.
Der allgemeine Ansatz für eine ganzrationale Funktion
zweiten Grades lautet:
f(x) = A x^2 + B x + C mit gegebenen Konstanten A (nicht null) ,B,C
Berechne zunaächst allgemein für x2 > x1 den Term
L = [f(x2) – f(x1)] / (x2-x1) und vereinfache ihn so stark wie möglich,
indem Du von der Zerlegung x2^2-x1^2 =(x2-x1)*(x2+x1) Gebrauch
machst. L steht übrigens für linke Seite
Berechne ebenso eine rechte Seite R = f´(a) mit a = ½ * (x1+x2).
a ist die Abszisse,d.h. der x-Wert des Mittelpunktes des x-Intervalls[x1.x2].
Ueberzeuge Dich davon, dass L = R gilt und Du bist am Ziel.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Nicole Thim (nicole10000)
Mitglied
Benutzername: nicole10000
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 14:53: |
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Also ist dann
f´(a)=1/2*(x1+x2)*2*x+b
Also ergibt dies dann die Gleichung:
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = 1/2*(x1+x2)*2*x+b
Aber wie dann weiter? Wie sollen die beiden Seiten dan gleich werden??? |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1928
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 15:45: |
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Hi Nicole,
Hier die Lösung Deiner Aufgabe in der Totale:
Der allgemeine Ansatz für eine ganzrationale Funktion
zweiten Grades lautet:
f(x) = A x^2 + B x + C mit gegebenen Konstanten A (nicht null) ,B,C
Wir berechnen zunächst allgemein für x2 > x1 den Term
L = [f(x2) – f(x1)] / (x2-x1)=
L = A[x2^2 – x1^2] +B[x2 – x1] / (x2-x1), C hat sich weggehoben !
Wir vereinfachen ihn so stark wie möglich,
indem wir von der Zerlegung x2^2 -x1^2 = (x2-x1)*(x2+x1) Gebrauch
machen. L steht für linke Seite und lautet vereinfacht nach erfolgter
Division mit (x2-x1):
L =A*(x2 + x1) + B
Wir berechnen mittels der Ableitung f ´(x) = 2*A x + B ebenso eine rechte
Seite R = f ´ (a) mit a = ½ * (x1+x2).
a ist der x-Wert des Mittelpunktes des x-Intervalls[x1.x2].
Wir erhalten sofort R = 2A * ½ (x1+x2) + B = A * (x1 + x2) + B
Ueberzeuge Dich davon, dass L = R gilt und die Aufgabe damit fertig
gelöstist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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